Задача 34805 решим по схеме которая дана на фото 2)...
Условие
2) провести полное исследование данных функций и построить их график
y=4x/(4+x2)
Решение
2. Является нечетной
f(-x)=-4x/(4+(-x)^2)
f(-x)= - f(x)
График симметричен относительно нуля.
3.Непериодическая.
Ни при каком Т не выполняется равенство f(x+T)=f(x) для любого х из D(y)
4.Непрерывна на области определения как частное непрерывных функций.
5.
lim_(x→+ ∞)f(x)= 0
lim_(x→- ∞)f(x)= 0
Горизонтальная асимптота [b] y=0.[/b]
Вертикальной асимптоты нет
Наклонной асимптоты нет
k=lim_(x→+ 0)f(x)/x=lim_(x→+ 0)4/(x^2+4)=0
y`=(4x)`(x^2+4)-(4x)*(x^2+4)`/(x^2+4)^2=(4x^2+16-8x^2)/(x^2+4)=
=(16-4x^2)/(x^2+4)
y`=0
16-4x^2 =0
4x^2=16
x^2=4
x=± 2
Так как функция нечётна, исследуем только на (0;+ ∞ )
Производная при переходе через точку меняет знак + на -
x=2 - точка максимума.
Соответственно
х=-2 - точка минимума
Функция убывает на (-∞;-2) и возрастает на (2;+ ∞ )
Возрастает на (-2;2)
y``=((16-4x^2)/(x^2+4))`=(-8x*(x^2+4)-2x*(16-4x^2))/(x^2+4)^2
y``=(-64x)/(x^2+4)^2
y``=0 при переходе через точку y`` меняет знак + на -,
значит на (-∞;0) функция выпукла вниз,
на (0;+∞ ) - вверх
Cм. рис.
Множество значений
[-2;2]
