Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 29403 14.8. На клетчатой бумаге выделен...

Условие

14.8. На клетчатой бумаге выделен прямоугольник размером mxn клеток, причем числа m и n взаимно простые и m < n . Диагональ этого прямоугольника не пересекает ровно 116 его клеток. Найдите все возможные значения m и n при данных условиях.

математика 10-11 класс 5368

Решение

Количество клеток, которые пересекает диагональ прямоугольника равно ( см. приложения)
(m + n - НОД(m,n))
Так как
НОД(m,n)=1,
то
количество клеток, которые пересекает диагональ прямоугольника равно
m+n-1
Уравнение:
m+n-1=mn-116
Решаем это уравнение в натуральных числах:
mn-m+n-1=116
m(n-1)+(n-1)=116
(n-1)*(m-1)=116

Раскладываем правую часть на множители и выбираем подходящие варианты:

116=2*58=2*2*29
m-1=1 ⇒ m=2
n-1=2*58⇒ n=117
или
m-1=2⇒m=3
n-1=58 ⇒ n=59
или
m-1=4⇒ m=5
n-1=29 ⇒ n=30
противоречие, m и n не взаимно простые.

аналогично не подходит вариант m-1=29; n-1=4

m-1=116 ⇒ m=117 > n не удовлетворяет условию

О т в е т. 2 и 117; 3 и 59

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК