Задача 37925 Решите 4^x*2^(x^2+1) > 16 Вычислите...

vk280770680

4 июня 2019 г. в 13:50

Решите 4^x·2^x2+1 > 16

Вычислите 5^{4log₅√3+1/2 log₅4}

sova

4 июня 2019 г. в 15:27

★

1.

4=2²
4^x=(2²)^x=2^2x

4^x·2^x2+1=2^2x·2^x2+1=2^x2+2x+1

16=2⁴

Неравенство принимает вид:

2^x2+2x+1 > 2⁴

Показательная функция с основанием 2 > 1 возрастающая, значит большему значению функции соответствует большее значение аргумента

x²+2x+1 >4;

(x+1)²–2² >0

Раскладываем а множители по формуле a²–b²=(a–b)(a+b)

(х+1–2)·(х+1+2) >0

(x–1)(x+3) > 0

Решаем методом интервалов.

Нули функции:

x–1=0 или х+3=0

х=1 или x=–3

___+__ (–3) ______ (1) ___+__

x ∈ (– ∞ ;–3) U (1;+ ∞ )

3.

a^m+n=a^m·aⁿ

5^{4log₅√3 + (1/2)log₅4}= 5^4log₅√3 · 5^(1/2)log₅4

По свойству логарифма степени
log_ab^k=k·log_ab; a>0; a ≠1; b>0

и значит

k·log_ab=log_ab^k

Поэтому
5^4log₅√3 · 5^(1/2)log₅4= 5^log₅√34 · 5^log₅41/2

Основное логарифмическое тождество a^log_ab=b, a>0; a ≠1; b>0

Поэтому
5^log₅√34 · 5^log₅41/2=√3⁴·4^1/2=9·2= 18

Все решение занимает две строчки:

5^{4log₅√3 + (1/2)log₅4}= 5^4log₅√3 · 5^(1/2)log₅4=

=5^log₅√34 · 5^log₅41/2=√3⁴·4^1/2=9·2= 18