Решаем систему трех уравнений:
{x-y+4z-6=0
{2x+y-z+3=0
{3x-y+6z-12=0
Δ=0
Прямая и плоскость либо не имеют общих точек, т е параллельны
либо имеют бесчисленное множество общих точек (прямая лежит в пл.).
Запишем уравнение прямой в каноническом виде как в п.2
и убедимся, что направляющий вектор прямой:
vector{s} и нормальный вектор плоскости
vector{n} коллинеарны или нет.
Прямая L задана как линия пересечения двух плоскостей:
{x-y+4z-6=0
{2x+y-z+3=0
Найдем две точки, принадлежащие линии пересечения.
Пусть первая координата точки, принадлежащей линии пересечения х=0
Тогда система принимает вид:
{-y+4z-6=0
{y-z+3=0
Cкладываем
3z-3=0
z=1
y=z-3
y=-2
[b]А(0; -2; 1)[/b]
Пусть вторая координата точки, принадлежащей линии пересечения y=0
Тогда системa принимает вид:
{x+4z-6=0
{2x-z+3=0
умножаем второе на 4 и складываем
{x+4z-6=0
{8x-4z+12=0
9х+6=0
х=-2/3
z=2х+3=2*(-2/3)+3=5/3
[b]В(-2/3;0;5/3)[/b]
vector{s}=vector{AB}=(-2/3;2;2/3)
Нормальный вектор плоскости
vector{n}={3;-1;6}
Векторы не коллинеарны.
Значит прямая L лежит в плоскости Q.
2)
Направляющий вектор прямой:
vector{s}=(2;17;13)
Нормальный вектор плоскости
vector{n}=(5;0;-1}
Векторы vector{s}=(2;17;13) и vector{n}=(5;0;-1} не коллинеарны и не ортогональны.
Прямая и плоскость пересекаются