Задача 51284 Найдите положительное число, для...

vk288952222

22 мая 2020 г. в 15:30

Найдите положительное число, для которого сумма его взаимно обратного и квадрата, увеличенного в 44 раза, является наименьшей.

sova

22 мая 2020 г. в 17:31

★

Пусть неизвестное число х, тогда [m]\frac{1}{x}[/m] – взаимно обратное.

[m]44x^2[/m] – квадрат этого числа ,увеличенный в 44 раза


Сумма взаимно обратного и квадрата этого числа увеличенного в 44

раза

[m]\frac{1}{x}+44x^2[/m]

Обозначим ее f(x)

f(x)=[m]\frac{1}{x}+44x^2[/m]

x>0

Исследуем функцию с помощью производной.


f `(x)=[m]-\frac{1}{x^2}+88x[/m]

f `(x)=[m]\frac{88x^3-1}{x^2}[/m]


f`(x)=0

[m]88x^3-1=0[/m]

x ≠ 0

[m]x^3=\frac{1}{88}[/m]


x=[m]\sqrt[3]{\frac{1}{88}}[/m]– точка минимума на (0;+ ∞ ), производная меняет знак с – на +


О т в е т. [m]\sqrt[3]{\frac{1}{88}}[/m]


PS.
Если увеличение в 4 раза, все смотрится гораздо интереснее:

f(x)=[m]\frac{1}{x}+4x^2[/m]

x>0

Исследуем функцию с помощью производной.


f `(x)=[m]-\frac{1}{x^2}+8x[/m]

f `(x)=[m]\frac{8x^3-1}{x^2}[/m]


f`(x)=0

[m]8x^3-1=0[/m]

x ≠ 0

[m]x^3=\frac{1}{8}[/m]


[m]x=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}[/m]


[m]x=\frac{1}{2}[/m]– точка минимума на (0;+ ∞ ), производная меняет знак с – на +


О т в е т. [m]\frac{1}{2}[/m]