Задача 36506 log(2)(2-x) + log(1/2)(x-1) >...

vk288952222

2019-04-28 14:47:57

log(2)(2-x) + log(1/2)(x-1) > log(sqrt(2))3

sova

2019-04-28 14:56:18

★

ОДЗ: выражения под знаком логарифма не могут быть отрицательными или равными 0, поэтому:

{2-x >0 ⇒ x < 2
{x-1 > 0 ⇒ x > 1

x ∈ (1;2)

Применяем свойства логарифмов ( см. рис.):

log_(1/2)(x-2)=log_(2^(-1))(x-1)=-log_(2)(x-1)

log_(sqrt(2))3=log_(2^(1/2))3=(1/(1/2))log_(2)3=2log_(2)3=

=log_(2)3^2=log_(2)9

Неравенство принимает вид:

log_(2)(2-x) - log_(2) (x-1) > log_(2)9

Разность логарифмов можно заменить логарифмом частного, но чтобы не связываться с дробями перепишем:

log_(2)(2-x) > log_(2) (x-1) + log_(2)9

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(2)(2-x) > log_(2)9*(x-1)

Далее применяем свойство монотонности логарифмической функции.

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

(Знак логарифма убирается, знак неравенства остается таким же)


2- х > 9*(x-1)

2-х > 9x - 9

-x -9x > -9 - 2

-10x > -11

x< 11/10

x< 1,1

C учетом ОДЗ получаем ответ

(1; 1,1)