Задача 36506 log(2)(2-x) + log(1/2)(x-1) >...

vk288952222

28 апреля 2019 г. в 14:47

log₂(2–x) + log_1/2(x–1) > log_√23

sova

28 апреля 2019 г. в 14:56

★

ОДЗ: выражения под знаком логарифма не могут быть отрицательными или равными 0, поэтому:

{2–x >0 ⇒ x < 2
{x–1 > 0 ⇒ x > 1

x ∈ (1;2)

Применяем свойства логарифмов ( см. рис.):

log_1/2(x–2)=log_2^–1(x–1)=–log₂(x–1)

log_√23=log_2^1/23=(1/(1/2))log₂3=2log₂3=

=log₂3²=log₂9

Неравенство принимает вид:

log₂(2–x) – log₂ (x–1) > log₂9

Разность логарифмов можно заменить логарифмом частного, но чтобы не связываться с дробями перепишем:

log₂(2–x) > log₂ (x–1) + log₂9

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log₂(2–x) > log₂9·(x–1)

Далее применяем свойство монотонности логарифмической функции.

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

(Знак логарифма убирается, знак неравенства остается таким же)


2– х > 9·(x–1)

2–х > 9x – 9

–x –9x > –9 – 2

–10x > –11

x< 11/10

x< 1,1

C учетом ОДЗ получаем ответ

(1; 1,1)