Задача 29247 5.2.16. Найти длину перпендикуляра,...

slava191

07.08.2018

5.2.16. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 20х — 5y + 4z — 210 = 0 и угол, образованный этим перпендикуляром с осью Oz.

SOVA

08.08.2018

★

Пусть M(x_(o);y_(o);z_(o)) основание перпендикуляра.

vector{OM} коллинеарен вектору vector{n}
vector{OM}=(x_(o);y_(o);z_(o))
vector{n}=(20;-5;4)
Значит, координаты этих векторов пропорциональны
x_(o)/20=y_(o)/(-5)=z_(o)/4
или
x_(o)=20k
y_(o)=-5k
z_(o)=4k
k- коэффициент пропорциональности.

Точка M_(o) лежит на плоскости, значит ее координаты удовлетворяют соотношению
20x_(o)-5y_(o)+4z_(o)-210=0
20*20k-5*(-5k)+4*4k-210=0
441k=210
k=10/21

x_(o)=20k=200/21;
y_(o)=-5k=-50/21
z_(o)=4k=40/21

|OM_(o)|=sqrt((200/21)^2+(-50/21)^2+(40/21)^2)=

=sqrt(44100/441)=sqrt(100)=10

cosγ=z_(o)/|OM_(o)|=(40/21)/10=4/21

О т в е т. длина перпендикуляра равна 10; угол, образованный этим перпендикуляром и осью Оz равен arccos (4/21)