Задача 29247 5.2.16. Найти длину перпендикуляра,...

slava191

8 июля 2018 г. в 00:00

5.2.16. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 20х — 5y + 4z — 210 = 0 и угол, образованный этим перпендикуляром с осью Oz.

SOVA

8 августа 2018 г. в 00:00

★

Пусть M(x_o;y_o;z_o) основание перпендикуляра.

OM коллинеарен вектору n
OM=(x_o;y_o;z_o)
n=(20;–5;4)
Значит, координаты этих векторов пропорциональны
x_o/20=y_o/(–5)=z_o/4
или
x_o=20k
y_o=–5k
z_o=4k
k– коэффициент пропорциональности.

Точка M_o лежит на плоскости, значит ее координаты удовлетворяют соотношению
20x_o–5y_o+4z_o–210=0
20·20k–5·(–5k)+4·4k–210=0
441k=210
k=10/21

x_o=20k=200/21;
y_o=–5k=–50/21
z_o=4k=40/21

|OM_o|=√(200/21)²+(–50/21)²+(40/21)²=

=√44100/441=√100=10

cosγ=z_o/|OM_o|=(40/21)/10=4/21

О т в е т. длина перпендикуляра равна 10; угол, образованный этим перпендикуляром и осью Оz равен arccos (4/21)