Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 31484 Найти все точки разрыва функции....

Условие

Найти все точки разрыва функции. Обосновать ответ и показать, что других точек разрыва нет

математика ВУЗ 1327

Решение

Функция
f(x)=g(x)+h(x)

Функция g(x)=sqn(cos(1/x)) является композицией функций
g(x) = sgnu; u = cost, t =1/x.

[b]По теореме о непрерывности композиции[/b] функций u(x)=cos(1/x) [b]непрерывна[/b] при всех х≠ 0.
x=0 - точка разрыва 1 рода

Функция g(x)=sqnu непрерывна при всех u≠ 0.

cos(1/x)=0
(1/x)=(π/2)+πk, k ∈ Z
x=1/((π/2)+πk), k ∈ Z - точки разрыва первого рода

[b]По теореме о непрерывности композиции[/b] функций
g(x) непрерывна х≠ 0 и х≠1/((π/2)+πk), k ∈ Z
x=0 и x=1/((π/2)+πk), k ∈ Z - точки разрыва первого рода


Функция h(x)=arctg((1/x)+1/(x-1)+1/(x-2)) является композицией функций
h(x) =arctg v; v(x) = (1/x)+1/(x-1)+1/(x-2)

[b]По теореме о непрерывности суммы[/b] функций v(x) = (1/x)+1/(x-1)+1/(x-2) [b]непрерывна[/b] при всех х≠ 0; х≠1;x≠ 2.
x=0; x=1;x=2 - точка разрыва 2 рода функции
v(x) = (1/x)+1/(x-1)+1/(x-2)

Функция h(x) =arctg v непрерывна при всех v

Имеет разрывы второго рода в точках
х=0; х=1; х=2

Функция h(x) имеет три точки разрыва второго родах=0; х=1; х=2 и является непрерывной при при всех х≠ 0; х≠1;x≠ 2.

О т в е т. x=1/((π/2)+πk), k ∈ Z - точки разрыва первого рода
х=0; х=1; х=2 - точки разрыва второго рода

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК