Задача 42564 На оси абсцисс найдите такую точку Х...

vk303383029

12 декабря 2019 г. в 16:53

На оси абсцисс найдите такую точку Х ,чтобы сумма ее расстояний до точек M и N была бы наименьшей, и определите эту сумму расстояний.
M(–3;–2) N(4;–5)

sova

12 декабря 2019 г. в 17:29

На оси абсцисс расположены точки, у которых вторая координата равна 0

Пусть X(x;0)

MX=√(x+3)²+(0+2)²=√x²+6x+13
NX=√(x–4)²+(0+5)²=√x²–8x+41

сумма расстояний:

MX+NX=√x²+6x+13+√x²–8x+41 –
функция, зависящая от х

Обозначим

f(x)=√x²+6x+13+√x²–8x+41

x²+6x+13 >0 при любом х, так как D=36–4·13 <0
x²–8x+41>0 при любом х, так как D=64–4·41 <0

Переформулировка задачи:

Найти x, при котором f(x) принимает наименьшее значение.

По формуле:
(√u)`=[m]\frac{u`}{2\sqrt{u}}[/m]


f`(x)=[m]\frac{2x+6}{2\cdot \sqrt{x^2+6x+13}} +\frac{2x-8}{2\cdot \sqrt{x^2-8x+41}}[/m]

f`(x)=[m]\frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x+13}} +\frac{x-4}{\sqrt{x^2-8x+41}}[/m]

f`(x)=0

[m]\frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x+13}} +\frac{x-4}{\sqrt{x^2-8x+41}}[/m]=0

[m]\frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x+13}} =-\frac{x-4}{\sqrt{x^2-8x+41}}[/m]

Возводим в квадрат при условии
{x+3 ≥ 0 ⇒ x ≥–3 ⇒
{–(x–4) ≥ 0 ⇒ x ≤ 4 ⇒
{[m]\frac{(x+3)^2}{x^2+6x+13}=\frac{x-4)^2}{x^2-8x+41}[/m]

–3 ≤ x ≤ 4

К третьей строчке применяем основное свойство пропорции:

(x+3)²·(x²–8x+41)=(x²+6x+13)·(x–4)²

(x²+6x+9)·(x²–8x+41)=(x²+6x+13)·(x²–8x+16)

Сделаем замену переменной:
x²+6x+9=u
x²–8x+16=v

u·(v+25)=(u+4)·v

uv+25u=uv+4v ⇒

25u=4v

25·(x²+6x+9)=4·(x²–8x+16)

21x²+182x+161=0

D=182²–4·21·161=19600

x₁=(–182+140)/42=–1; x₂=(–182–140)/42 ∉[ –3; 4]

Применяем достаточное условие экстремума.

[–3] __–__ (–1) ____+___ [4]

x=–1 – точка минимума, производная меняет знак с – на +

f(–1)=√(–1)²+6·(–1)+13+√(–1)²–8·(–1)+41=

=√8+√50=2√2+5√2=7√2

это и есть наименьшее расстояние d


О т в е т. Х (–1; 0)

d=7√2