Задача 10623 Целые числа x, у и z в указанном порядке...
Условие
A) Могут ли числа x+3, у^2 и z+5 образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?
Б) Могут ли числа 5x, у и 3z образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?
B) Найдите все x, у и z, при которых числа 5x+3, у^2 и 3z+5 будут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.
Решение
Это означает, что y^2=xz
и потому xz > 0 (xz≠0),
т.е x и z одного знака.
А) Если числа x+3, у2 и z+5 образуют арифметическую прогрессию, то
y^2-x-3=z+5-y^2 или
2y^2=x+z+8
Заменяя y^2 на xz получим
2xz=x+z+8
2xz-z=x+8
z=(x+8)/(2x-1)
При х=1 получим z=9
y^2=xz=9
Числа 1;3;9 и 1;-3;9 образуют геометрическую прогрессию.
Числа 1+3; 9; 14 - образуют арифметическую прогрессию.
О т в е т .А) Да.
Б)Если числа 5х, у и 3z образуют арифметическую прогрессию, то
y-5x=3z-y или
2y=5x+3z
у=(5х+3z)/2
Возводим в квадрат
y^2=(25x^2+15xz+9z^2)/4
Заменяя y^2 на xz
4xz=25x^2+15xz+9z^2
-11xz=25x^2+9z^2 - равенство невозможно, так как слева отрицательное число, а справа положительное.
О т в е т. Б) Нет.
В) Если числа 5x+3, у^2 и 3z+5 образуют арифметическую прогрессию, то
y^2-5x-3=3z+5-y^2;
2y^2=5x+3z+8.
Заменяя y^2 на xz получим
2xz=5x+3z+8;
2xz-3z=5x+8;
z(2x-3)=5x+8;
z=(5x+8)/(2x-3);
z=(5x-(15/2)+(15/2)+8)/(2x-3)=(5/2)+ 31/2(2x-3)
Чтобы я было целым число необходимо, чтобы (2х-3) было кратно 31
Значит
2х-3=31 ⇒х=17 ⇒ z=3 ⇒y^2=51 нет целых у
2х-3=-31 ⇒х=-14 ⇒ z=2 ⇒y^2=-28 нет таких у
2х-3=1 ⇒х=2 ⇒ z=18 ⇒y^2=36 ⇒ у=-6 или у=6
2х-3=-1 ⇒х=1 ⇒ z=-13 ⇒y^2=-13 нет таких у.
О т в е т. В) 2; 6; 18 или 2; -6; 18.