Задача 17944 а) Решите уравнение sinx=cos(Pi/3-x) б)...

slava191

10 июня 2017 г. в 00:00

а) Решите уравнение sinx=cos(π/3–x)
б) Найдите корни на отрезке [4π; 16π/3]

SOVA

10 июня 2017 г. в 00:00

★

а)
По формулам приведения
sinx=cos((π/2)–x)

Уравнение принимает вид
cos((π/2)–x)=cos((π/3)–x)
или
cos((π/2)–x)–cos((π/3)–x)=0
Применяем формулу
cos α – cos β =–2sin(( α + β )/2)·sin(( α – β )/2)
–2sin((5π/12)–x)·sin(π/12) =0
⇒
sin((5π/12)–x)=0
пользуясь нечетностью синуса
уравнение можно записать так:
– sin(x–(5π/12))=0
x – (5π/12)=πk, k ∈ Z
x=(5π/12)+πk, k ∈ Z
О т в е т.
а) x=(5π/12)+πk, k ∈ Z

б) Указанному промежутку принадлежит один корень
х=(5π/12)+4π=53π/12
4π=48π/12 < 53π/12 < 64π/12=16π/3
Cм. рисунок