Задача 33840 ...

sa2842004

23 февраля 2019 г. в 18:46

Как решить это уравнение 4^x+√x2–2–5·2^{x–1+√x2–2}=6(подробно пожалуйста!)

sova

23 февраля 2019 г. в 19:10

★

ОДЗ: x²–2 ≥0

Показатели
x+√(x²–2)
x–1+√(x²–2)
и
x–1+x–1+√(x²–2)
отличаются на –1

2^{x–1+√(x2–2)}=2^{x+√(x2–2)}·2^–1=(1/2)·2^{x+√(x2–2)}

2^{x+√(x2–2)}=t,
t>0 при любом х, так как показательная функция принимает только положительные значения.

4^{x+√(x2–2)} =(2²)^( (x+√(x²–2))=(2^{x+√(x2–2)})²=t²

Уравнение
t² –(5/2)t–6=0
2t²–5t–12=0
D=25–4·2·(–12)=25+96=121
t=(5+11)/4=4 , второй корень отрицательный и не удовл. усл. t >0

Обратный переход
2^x+√x2–2=4;
x+√x²–2=2;
√x²–2=2–x;
x²–2=4–4x+x²;
4x=6
x=3/2 удовл. ОДЗ: (3/2)²–2 ≥ 0 – верно

О т в е т. 3/2