Задача 23269 Все на картинке...
Условие
Решение
{(5/9)+cosx=(9/16)sin^2z+cosz+(4/9)ctg^2z;
{(5/9)+cosy=(9/16)sin^2x+cosx+(4/9)ctg^2x;
{(5/9)+cosz=((9/16)sin^2y+cosy+(4/9)ctg^2y;
Cкладываем
(15/9)=9/16*(sin^2x+sin^2y+sin^2z)+(4/9)*(ctg^2x+ctg^2y+ctg^2z)
Применяем формулу ctg^2 α =(1/sin^2α) –1.
Получаем:
15/9=9/16*(sin^2x+sin^2y+sin^2z)+(4/9)·((1/sin^2x)+(1/sin^2y)+1/sin^2z)–4/9*(1+1+1)
(15/9)+(12/9)=9/16*(sin^2x+sin^2y+sin^2z)+(4/9)·((1/sin^2x)+(1/sin^2y)+1/sin^2z)
Проведем оценку правой части, применим неравенство Коши:
a+b ≥ 2√ab,
равенство достигается при a=b.
9/16*(sin^2x+sin^2y+sin^2z)+(4/9)·((1/sin^2x)+(1/sin^2y)+1/sin^2z) ≥
(2·((3/4)*(2/3)9(sinx)/sinx)+2·((3/4)*(2/3)9(siny)/siny)+2·((3/4)*(2/3)9(sinz)/sinz)=3
27/9 больше или равно 3
Возможно лишь равенство
1=(9/16)sin^2x+(4/9)*(1/sin^2x)
1=(9/16)sin^2y+(4/9)*(1/sin^2y)
1=(9/16)sin^2z+(4/9)*(1/sin^2z)
Отсюда находим sin^2x; sin^2y; sin^2z
затем cos^2x; cos^2y; cos^2z
подставляем в сумму косинусов
t=x+y
cos(x+y+z)= cos(t + z) =
= cos(t)cos(z) - sin(t)sin(z) =
= cos(x + y)cos(z) - sin(x + y)sin(z) =
= (cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y))cos(z) - (sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y))sin(z) =
= cos(x)cos(y)cos(z) - sin(x)sin(y)cos(z) -sin(x)cos(y)sin(z) – cos(x)sin(y)sin(z)