Задача 11781 Решите неравенство...

slava191

23.11.2016

Решите неравенство log(1-log3x)(1+log^2_(x)3) меньше или равно 1

SOVA

23.11.2016

★

ОДЗ:
{х > 0, x≠1
{1–log3x > 0 ⇒ log3x < log33 ⇒ x < 3
{1–log3x≠1 ⇒log3x ≠ 0 ⇒ x ≠ 1
x∈ (0;1)U(1;3)

Перепишем неравенство в виде:
log_(1–log_(3)x)(1+log^2_(x)3) ≤ log_(1–log_(3)x)(1–log_(3)x)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств, получаем неравенство:
(1-log_(3)x-1)*(1+log^2_(x)3-1+log_(x)3)≤0
(-log_(3)x)*(log_(x)3)*(log_(x)3+1)≤0
log_(x)3+1≥0
log_(x)3≥-1

При x∈(0;1) x≤1/3 ⇒ x∈(0;1/3]
При x∈(1;3) x ≥ 1/3 ⇒ x∈(1;3)

О т в е т.x∈(0;1/3]U(1;3)