Задача 38951 (sqrt(5+sqrt(24)))^x +...

vk492803606

2019-08-25 08:14:27

(sqrt(5+sqrt(24)))^x + (sqrt(5-sqrt(24)))^x = 10

sova

2019-08-25 13:22:13

★

Так как sqrt(5+sqrt(24))*sqrt(5-sqrt(24))=1,
то sqrt(5+sqrt(24))=1/sqrt(5-sqrt(24)).

замена переменной:
(sqrt(5+sqrt(24))^(x)=t, тогда
(sqrt(5-sqrt(24)))^(x)=1/t,
t ≠ 0

Уравнение
t+(1/t)=10
сводится к квадратному:
t^2-10t+1=0
D=100-4=96
t=5 ± sqrt(24)

Обратный переход
(sqrt(5+sqrt(24))^(x)=sqrt(5+sqrt(24))
х=1

или

(sqrt(5+sqrt(24))^(x)=sqrt(5-sqrt(24))
(sqrt(5+sqrt(24))^(x)=(sqrt(5+sqrt(24)))^(-1)
х= - 1

О т в е т. ± 1