Задача 13094 ...

slava191

21 января 2017 г.

a) Найти натуральное число n такое, что бы сумма 1+2+3+...+n равнялась трехзначному числу, все цифры которого одинаковы.

б) Сумма четырех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 1, а сумма кубов этих чисел равна 0,1. Найти эти числа.

SOVA

21 января 2017 г.

★

а)
1+2+3+...+ n= n·(n+1)/2 – cумма арифметической прогрессии
n(n+1)/2 должно равняться 111; 222; 333; 444; 555; 666; 777; 888; 999
или
n(n+1) должно равняться 222; 444; 666; 888; 1110; 1332;
1554; 1776; 1998.
Подбором находим 1332=36·37
О т в е т. n=36
б)
{a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)=1
{a³+(a+d)³+(a+2d)³+(a+3d)³=0,1

{4a+6d=1 ⇒ d=(1–4a)/6;
{a³+((2a–1)/6)³+((2–2a)/6)³+((3–6a)/6)³=0,1⇒
50a²–25a+2=0
D=625–400=225
a=(25–15)/100=0,1 ⇒ d=(1–4a)/6=(1–0,4)/6=0,1
или
a=(25+15)/100=0,4 ⇒ d=(1–1,6)/6=–0,1

Первая прогрессия:
0,1; 0,2; 0,3;0,4
Сумма
0,1+0,2+0,3+0,4=1
Сумма кубов
0,1³+0,2³+0,3³+0,4³=0,001+0,008+0,027+0,064=0,1
Вторая прогрессия состоит из тех же чисел, но убывает:
0,4; 0,3; 0,2; 0,1

О т в е т. 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.