Задача 44289 Окружность радиуса sqrt(3) касается...

slava191

15 февраля 2020 г. в 17:58

Окружность радиуса √3 касается прямой а в точке А, а прямой b в точке В так, что хорда АВ стягивает дугу окружности в 60 ° . Прямые а и b пересекаются в точке F. Точка С расположена на луче FA, а точка D – на луче BF так, что AC=BD=2.

а) Докажите, что треугольник BAD – прямоугольный

б) Найдите длину медианы треугольника CBD, проведенную из вершины D.

sova

15 февраля 2020 г. в 23:38

★

а)
По условию ∪ AB=60 ° ⇒ центральный угол АОВ=60 °

Δ АОВ – равнобедренный ( АО=ОВ) c ∠ АОВ=60 ° при вершине,значит Δ АОВ – равносторонний
АО=ОВ=АВ=R=√3


Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

∠ FAO= ∠ FBO=90 °

Сумма углов четырехугольника FAOB равна 360 °

Значит, ∠ АFB=120 °

По свойству касательных проведенных к окружности из одной точки
FA=FB
Пусть FA=FB=x

По теореме косинусов из Δ FAB:
АВ²=FA²+FB²–2·FA·FB·cos120 °

(√3)²=x²+x²–2·x·x·(–1/2) ⇒ 3=3x²⇒ x²=1 ⇒ x=1

(x=–1 не удовл смыслу задачи)


Так как AC=BD=2 и FA=FB=1
⇒ FС=FA+AC=1+2=3

BD=BF+FD ⇒ FD=1

Треугольник Δ FAD– равносторонний,

АD=1

В треугольнике BAD:

AB²+AD²=BD²

(√3)²+1²=2²

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ВАD – прямоугольный

б)
По теореме косинусов из Δ FCD:

FD²=1²+3²–2·1·3·(1/2)
FD²=7
FD=√7

По теореме косинусов из Δ FВC:

FВ²=1²+3²–2·1·3·(–1/2)
FD²=13
FD=√13

Пусть медиана DK=m

Достроим треугольник BCD до параллелограмма

MCDB

Диагональ DM=2DK=2m


По свойству диагоналей и сторон параллелограмма:

2(a²+b²)=d²₁+d²₂

2·((√7)²+2²)=(2m)²+(√13)²

4m²=9

m=3/2

О т в е т. б) 3/2=1,5