Задача 39587 Исследовать функцию с помощью...

vk225404166

2019-09-18 11:11:04

Исследовать функцию с помощью производной и построить её график
y=1/3 x^3 - 7/2 x^2 +10x - 1

sova

2019-09-18 11:35:25

y=(1/3)x^3-(7/2)x^2+10х-1

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

Функция непрерывна, так как является многочленом

y`=x^2-7x+10

y`=0

x^2-7x+10=0

D=49-40=9

x=(7 ± 3)/2

x_(1)=2; x_(2)=5

Расставляем знак производной ( производная y`=x^2-7x+10 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви вверх, поэтому на (2;5) она отрицательна):

__+__ (2) __-___ (5) __+__

y`>0 на (- ∞ ;2) и на (5;+ ∞ ), значит функция возрастает

y`> 0 на (2 ;5), значит функция убывает

х=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(2)=(1/3)*2^3-(7/2)*2^2+10*2-1=(8/3)+5=[b]23/3[/b]

х=5 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(5)=(1/3)*5^3-(7/2)*5^2+10*5-1=25*(5/3)-25*(7/2)+49=

=25*((5/3)-(7/2))+49=-275/6+(49)=[b]19/6[/b]

y``= 2x - 7

y``=0

2x - 7 =0

2x = 7

x=7/2- точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +
Функция выпукла вверх на ( (- ∞ ;3,5) и выпукла вниз на (3,5;+ ∞ )
См. график рис.