Задача 19168 Найти единичный вектор vector{e},...

slava191

07.11.2017

Найти единичный вектор vector{e}, который перпендикулярен вектору vector{a}={2,4,1} и вектору vector{b}={-4;2;1}, если угол между vector{e} и vector{i} > Pi/2

SOVA

07.11.2017

★

Пусть вектор vector{e}={x;y;z}

Из условий ортогональности вектора vector{e} и вектора vector{a}:
2х+4у+z=0
Из условий ортогональности вектора vector{e} и вектора vector{b}:
-4х+2у+z=0
Условие единичности вектора vector{e} :
х^2+у^2+z^2=1

Решаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:
{2х+4у+z=0
{-4х+2у+z=0
{х^2+у^2+z^2=1

Вычитаем из первого второе, умножаем второе на (-2) и складываем с первым

{6х+2у=0
{10х-z=0
{х^2+у^2+z^2=1

Выражаем у и z через x и подставляем в третье:

{y=-3x
{z=10x
{ x^2+( -3x)^2+(10x)^2=1

110x^2=1
x=-1/sqrt(110) или х=1/sqrt(110)

По условию угол между vector{e} и vector{i} больше π/2
Значит,
х=-1/sqrt(110)
у=-3х=3/sqrt(110)
z=10x=-10/sqrt(110)

О т в е т. vector{e}={-1/sqrt(110);3/sqrt(110);-10/sqrt(110)}