Задача 42616 найти точку разрыва функции; изобразить...
Условие
Решение
Функция t(x)=1/(x+2) непрерывна на (- ∞ ;-2)U(-2;+ ∞ )
Функция y=f(t) непрерывна на (- ∞ ;-2)U(-2;+ ∞ ) как композиция непрерывных функций y=f(t) и t=t(x)
Исследуем точку х=-2
Находим [i]предел слева[/i]:
lim_(x → -2-0)f(x)=0, так как
1/(x+2) → - ∞ при х → -2-0 ( слева от точки х=-2, см график гиперболы y=1/(x+2))
2^(1/(x+2)) → 0 при x → -2-0, так как 2^(- ∞ ) → 0
Находим [i]предел справа[/i]:
lim_(x →-2+0)f(x)=0, так как
1/(x+2) → + ∞ при х → -2+0 ( справа от точки x=-2, см график гиперболы y=1/(x+2))
2^(1/(x+2)) → + ∞ при x →-2+0, так как 2^(+ ∞ ) → + ∞
Функция имеет один бесконечный предел в точке
Значит х=- 2 - точка разрыва [i] второго[/i] рода
2)
На (- ∞ ;0) функция непрерывна, так как y=2x^2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (0;π/2] функция непрерывна, так как y=cosx непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (π/2;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=x-(π/2) непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке х=0 и х=π/2
[red]x=0[/red]
Находим[i] предел слева[/i]:
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)(2x^2)=0
Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)cosx=1
предел слева ≠ пределу справа
х=0 - [i]точка разрыва первого рода[/i]
[red]х=π/2[/red]
Находим [i]предел слева[/i]:
lim_(x →(π/2) -0)f(x)=lim_(x → (π/2)-0)cosx=cos(π/2)=0
Находим [i]предел справа[/i]:
lim_(x →(π/2) +0)f(x)=lim_(x → (π/2)+0)(x-(π/2))=0
х=π/2 - [i]точка непрерывности [/i]
предел слева = пределу справа и равен значению функции в точке π/2
