Задача 17972 а) Решите уравнение sin(2x+Pi/2) =...
Условие
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3Pi/2; 0]
Решение
sin(2x+π/2) = cos2x
cos(x+π/2)=- sinx
sin(x+π/2)= cosx
Уравнение принимает вид:
сos2x= -sinx + cosx
Так как
сos2x=cos^x-sin^2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx), то
(cosx-sinx)(cosx+sinx)-(сosx-sinx)=0
(cosx-sinx)*(cosx+sinx-1)=0
cosx-sinx=0 или сosx+sinx-1=0
Решаем первое уравнение
сosx-sinx=0
Это однородное тригонометрическое уравнение
Делим на cosx ≠0,
tgx=1
x= (π/4)+πk, k∈Z
Решаем второе уравнение
сosx+sinx-1=0
сosx+sinx=1
По формулам двойного аргумента
cosx=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
sinx=2sin(x/2)*cos(x/2)
и
1=сos^2(x/2)+sin^2(x/2)
cos^2(x/2)-sin^2(x/2)+2sin(x/2)*cos(x/2)-сos^2(x/2)-sin^2(x/2)=0
2sin(x/2)*cos(x/2)-2sin^2(x/2)=0
Раскладываем левую часть на множители
2sin(x/2)*(cos(x/2)-sin(x/2))=0
sin(x/2)=0 или cos(x/2)-sin(x/2)=0
x/2=πn, n∈Z или tg(x/2)=1
x=2πn, n∈Z или х/2=(π/4)+πm, m∈Z ⇒ x=(π/2)+2πm, m∈Z
a) О т в е т. (π/4)+πk; 2πn; (π/2)+2πm, k, n, m ∈ Z.
б) Указанному промежутку принадлежат корни:
При
m=1
х1= (π/2)-2π*1=-3π/2
n=0
х2= 2π*0=0;
k=-1
х3= (π/4)-π = - 3π/4;
О т в е т. - 3π/2 ; 0; - 3π/4.
