Задача 45726 ...

vk191149096

31 марта 2020 г. в 23:26

1.Найдите все значения x и y , удовлетворяющие уравнению :
12sin x + 5cos x=2y²–8y+21
2.Вычислите:
cos⁴α+ sin⁴α , если sin 2α=2/3

sova

31 марта 2020 г. в 23:35

★

1)
НЕСТАНДАРТНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ

12sinx+5cosx= 13·([m]\frac{12}{13}\cdot sinx+\frac{5}{13}\cdot cosx) =13\cdot [/m]cos(x– φ )

φ – вспомогательный угол, cos φ =[m]\frac{5}{13}[/m]; sin φ =[m]\frac{12}{13}[/m]

–1 ≤ cos(x– φ ) ≤ 1 ⇒ –1 3≤ 13·cos(x– φ ) ≤ 13

2y²–8y+21 – квадратичная функция, которая принимает наименьшее значение в вершине
y_o=8/4=2

2·(2²)–8·2+21=13

Левая часть ≤ 13, а правая наоборот ≥ 13

Возможно только равенство: значение 13 получено при y=2

⇒ решаем уравнение

12 sinx+5cosx=13

13·cos(x– φ )=13

cos(x– φ )=1

x– φ =2πk, k ∈ Z

x= φ +2πk, k ∈ Z

x=arcsin=[m]\frac{12}{13}[/m]+2πk, k ∈ Z

О т в е т. arcsin=[m]\frac{12}{13}[/m]+2πk, k ∈ Z; 2)

2)
cos⁴ α +sin⁴ α =(cos² α )²+(sin² α )²=

[m]=(\frac{1+cos2 α}{2})^2+(\frac{1-cos2 α}{2})^2=[/m]

[m]=\frac{2+2cos^22 α}{4}=\frac{1+cos^22 α }{2}=\frac{1+(1-sin^22 α)}{2}= \frac{2-sin^22 α}{2}[/m]

При sin2 α =[m]\frac{2}{3}[/m]

[m]= \frac{2-(\frac{2}{3})^2}{2}= \frac{7}{9}[/m]