12sin x + 5cos x=2y^2-8y+21
2.Вычислите:
cos^4α+ sin^4α , если sin 2α=2/3
НЕСТАНДАРТНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ
12sinx+5cosx= 13*([m]\frac{12}{13}\cdot sinx+\frac{5}{13}\cdot cosx) =13\cdot [/m]cos(x- φ )
φ - [i]вспомогательный угол[/i], cos φ =[m]\frac{5}{13}[/m]; sin φ =[m]\frac{12}{13}[/m]
-1 ≤ cos(x- φ ) ≤ 1 ⇒ -1 3≤ 13*cos(x- φ ) ≤ 13
2y^2-8y+21 - квадратичная функция, которая принимает наименьшее значение в вершине
y_(o)=8/4=2
2*(2^2)-8*2+21=13
Левая часть ≤ 13, а правая наоборот ≥ 13
Возможно только равенство: значение 13 получено при [b]y=2[/b]
⇒ решаем уравнение
12 sinx+5cosx=13
13*cos(x- φ )=13
cos(x- φ )=1
x- φ =2πk, k ∈ Z
x= φ +2πk, k ∈ Z
x=arcsin=[m]\frac{12}{13}[/m]+2πk, k ∈ Z
О т в е т. arcsin=[m]\frac{12}{13}[/m]+2πk, k ∈ Z; 2)
2)
cos^4 α +sin^4 α =(cos^2 α )^2+(sin^2 α )^2=
[m]=(\frac{1+cos2 α}{2})^2+(\frac{1-cos2 α}{2})^2=[/m]
[m]=\frac{2+2cos^22 α}{4}=\frac{1+cos^22 α }{2}=\frac{1+(1-sin^22 α)}{2}= \frac{2-sin^22 α}{2}[/m]
При sin2 α =[m]\frac{2}{3}[/m]
[m]= \frac{2-(\frac{2}{3})^2}{2}= \frac{7}{9}[/m]