Делим на 2:
(1/2)sinx+(sqrt(3)/2)cosx=sqrt(3)/2
Вводим вспомогательный угол:
sin(π/6)=1/2
cos(π/6)=sqrt(3)/2
sin(π/6)sinx+cos(π/6)cosx=sqrt(3)/2
cos(x-(π/6))=sqrt(3)/2
x-(π/6)= ± arccos(sqrt(3)/2)+2πn, n ∈ Z
x=(π/6) ± (π/6)+2πn, n ∈ Z
x=(π/3)+2πn, n ∈ Z или х=2πn, n ∈ Z
2.
Делим на 5:
(4/5)sinx-(3/5)cosx=1
Вводим вспомогательный угол:
sin φ =4/5 ⇒ φ =arcsin(4/5)
cos φ =-3/5
sin^2 φ +cos^2 φ =(4/5)^2+(-3/5)^2=1
sin φ *sinx+cos φ *cosx=1
cos(x- φ )=1
x- φ =2πn, n ∈ Z
x=[b] φ +2πn, n ∈ Z[/b], где φ =arcsin(4/5)
О т в е т. [b] arcsin(4/5) +2πn, n ∈ Z[/b]
3.
Делим на 2:
(1/sqrt(2))sinx+(1/sqrt(2))cosx>-1
Вводим вспомогательный угол:
sin(π/4)=1/sqrt(2)
cos(π/4)=1/sqrt(2)
sin(π/4)sinx+cos(π/4)cosx>-1
cos(x-(π/4))>-1 неравенство верно при всех х, кроме
x-(π/4)=π+2πk, k ∈ Z
x=(5π/4)+2πk, k ∈ Z
О т в е т. [b]x ≠ (5π/4)+2πk, k ∈ Z[/b]
4.
2sqrt(3)sin^2x-2sinxcosx=sqrt(3)+1
Так как
1=sin^2x+cos^2x,
то
2sqrt(3)sin^2x-2sinxcosx=(sqrt(3)+1)*(sin^2x+cos^2x)
2sqrt(3)sin^2x-2sinxcosx=sqrt(3)sin^2x+sin^2x+sqrt(3)cos^2x+cos^2x
[b]Странно. Написано было. Значит, поторопилась и не сохранила.[/b]
Уравнение:
(sqrt(3)-1)sin^2x-2*sinx*cosx-(sqrt(3)+1)*cos^2x=0
Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка:
делим на сos^2x ≠ 0
(sqrt(3)-1)tg^2x-2tgx-(sqrt(3)+1)=0
D=(-2)^2+4*(sqrt(3)-1)*(sqrt(3)+1)=4+4*2=12
sqrt(D)=2sqrt(3)
tgx=(2 ± 2sqrt(3))/(2*(sqrt(3)-1))
tgx=-1; [b] x=-(π/4)+πk, k ∈ Z[/b]
или
tgx=(sqrt(3)+1)/(sqrt(3)-1)
tgx=2+sqrt(3)
[b]x=arctg(2+sqrt(3))+πn, n ∈ Z[/b]