Задача 49831 • №1 [m] \sin x + \sqrt{3} \cos x =...

apricot

12 мая 2020 г. в 09:46

• №1
[m] \sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3} [/m]

• №2
[m] 4 \sin x - 3 \cos x = 5 [/m]

• №3
[m] \sin x + \cos x > - \sqrt{2} [/m]

• №4
[m] 2 \sqrt{3} \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = \sqrt{3} - 1 [/m]

sova

12 мая 2020 г. в 10:12

★

1,
Делим на 2:

(1/2)sinx+(√3/2)cosx=√3/2

Вводим вспомогательный угол:
sin(π/6)=1/2
cos(π/6)=√3/2


sin(π/6)sinx+cos(π/6)cosx=√3/2

cos(x–(π/6))=√3/2


x–(π/6)= ± arccos(√3/2)+2πn, n ∈ Z

x=(π/6) ± (π/6)+2πn, n ∈ Z

x=(π/3)+2πn, n ∈ Z или х=2πn, n ∈ Z

2.

Делим на 5:

(4/5)sinx–(3/5)cosx=1

Вводим вспомогательный угол:
sin φ =4/5 ⇒ φ =arcsin(4/5)
cos φ =–3/5

sin² φ +cos² φ =(4/5)²+(–3/5)²=1

sin φ ·sinx+cos φ ·cosx=1

cos(x– φ )=1

x– φ =2πn, n ∈ Z

x= φ +2πn, n ∈ Z, где φ =arcsin(4/5)

О т в е т. arcsin(4/5) +2πn, n ∈ Z


3.
Делим на 2:

(1/√2)sinx+(1/√2)cosx>–1

Вводим вспомогательный угол:
sin(π/4)=1/√2
cos(π/4)=1/√2

sin(π/4)sinx+cos(π/4)cosx>–1


cos(x–(π/4))>–1 неравенство верно при всех х, кроме

x–(π/4)=π+2πk, k ∈ Z

x=(5π/4)+2πk, k ∈ Z


О т в е т. x ≠ (5π/4)+2πk, k ∈ Z


4.

2√3sin²x–2sinxcosx=√3+1

Так как
1=sin²x+cos²x,
то

2√3sin²x–2sinxcosx=(√3+1)·(sin²x+cos²x)


2√3sin²x–2sinxcosx=√3sin²x+sin²x+√3cos²x+cos²x

Странно. Написано было. Значит, поторопилась и не сохранила.


Уравнение:

(√3–1)sin²x–2·sinx·cosx–(√3+1)·cos²x=0

Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка:

делим на сos²x ≠ 0

(√3–1)tg²x–2tgx–(√3+1)=0

D=(–2)²+4·(√3–1)·(√3+1)=4+4·2=12

√D=2√3

tgx=(2 ± 2√3)/(2·(√3–1))

tgx=–1; x=–(π/4)+πk, k ∈ Z

или

tgx=(√3+1)/(√3–1)

tgx=2+√3

x=arctg(2+√3)+πn, n ∈ Z