Задача 22108 5. Найти длину диаметра эллипса (хорды,...
Условие
Решение
Запишем каноническое уравнение гиперболы
(x^2/4)-(y^2/4)=1
a=2
b=2
Уравнения асимптот гиперболы (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
у=(-b/a)x и у=(b/a)x
Значит уравнения асимптот гиперболы
(x^2/4)-(y^2/4)=1
у=-х и у=х
Через первую и третью четверть проходит асмптота
у=х
Перпендикулярная ей прямая имеет угловой коэффициент k=-1
Уравнение прямых перпендикулярных асимптоте у=х имеет вид у=-х+b
Чтобы найти b подставим координаты центра эллипса ( 0;0) в это уравнение
b=0
Уравнение диаметра эллипса, удовлетворяющего условию задачи у=-х
Найдем координаты точек пересечения прямой с эллипсом
{y^2=-x
{ 9x^2+27^y2 = 225
9x^2+27(-x)^2=225
36x^2=225
6|x|=15
x1=-5/2 или х2=5/2
y1=5/2 или y2=-5/2
d^2=(x_(2)-x_(1))^2+(y_(2)-y_(1))^2=
=((5/2)-(-5/2))^2+(-(5/2)-(5/2))^2=
=(25/2)+(25/2)=25
d=5
О т в е т . 5