Задача 30015 Найти наименьшее значение функции y =...

slava191

2018-10-06 18:18:13

Найти наименьшее значение функции

y = sqrt(x^2-2x+2)+sqrt(x^2-10x+29) [л12]

sova

2018-10-06 20:49:38

★

Так как
x^2-2x+2=(x-1)^2+1 > 0 при любом х ∈ (- ∞ ; + ∞ )
x^2-10x+29=(x-5)^2+4 > 0 при любом х ∈ (- ∞ ; + ∞ )
Область определения функции (- ∞ ; + ∞ )

y`= (sqrt(x^2-2x+2) + sqrt(x^2-10x+29))` =

=(2x-2)/(2*sqrt(x^2-2x+2)) + (2x-10)/(2*sqrt(x^2-10x+29)) =

=(x-1)/sqrt(x^2-2x+2) + (x-5)/sqrt(x^2-10x+29)

y`=0

(x-1)/sqrt(x^2-2x+2) + (x-5)/sqrt(x^2-10x+29) = 0

(x-1)*sqrt((x-5)^2+4)+(x-5)*sqrt((x-1)^2+1)=0

(x-1)*sqrt((x-5)^2+4)= -(x-5)*sqrt((x-1)^2+1)

(x-1)*sqrt((x-5)^2+4)= (5-х)*sqrt((x-1)^2+1)

{x-1 ≥ 0;
{5-x ≥ 0;
{(x-1)^2*((x-5)^2+4)=(5-x)^2*((x-1)^2+1).

{1 ≤ x ≤ 5;
{4*(x-1)^2=(5-x)^2.

4x^2-8x+4=25-10x+x^2

3x^2+2x-21=0
D=4-4*3*(-21)=4+252=256

x_(1)=(-2-16)/6=-3 ∉ [1;5] или x_(2)=(-2+16)/6= 7/3

х=7/3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

[1] __-__ (7/3) ___+____ [5]

н_(наименьшее)=y(7/3)=sqrt(((7/3)-1)^2+1) + sqrt(((7/3)-5))^2+4)=

=sqrt((4/3)^2+1) + sqrt((-8/3)^2+4)=

=sqrt(25/9) +sqrt(100/9)=(5/3)+(10/3)=15/3 = 5

О т в е т. 5