Задача 26979 4.44) sin(Picosx)=cos(Pisinx)...
Условие
Решение
По формулам приведения
cos(πsinx)=sin((π/2) -(πsinx))
sin(πcosx)=sin((π/2) -(πsinx))
или
sin(πcosx)-sin((π/2) -(πsinx))=0
2*sin((π/2)cosx-(π/4) +(π/2)sinx))*cos((π/2)cosx+(π/4) -(π/2)sinx)=0
sin((π/2)cosx-(π/4) +(π/2)sinx))=0
(π/2)cosx-(π/4) -(π/2)sinx)=πk, k ∈ Z
2cosx+2sinx=1+4k, k ∈ Z
Так как
-4 меньше или равно 2cosx+2sinx меньше или равно 4, то
уравнение имеет корни при
-4 меньше или равно 1+4k меньше или равно 4,
-5 меньше или равно 4k меньше или равно 3
т.е при k=0
2cosx+2sinx=1
Вводим вспомогательный угол
Делим на sqrt(2^2+2^2)=sqrt(8)=2sqrt(2)
1/sqrt(2) cosx+(1/sqrt(2))sinx=1/2sqrt(2)
cos(x-(Pi/4))= (sqrt(2)/4)
x-(Pi/4)=± arccos(1/2sqrt(2))+2Pim, m∈ Z
[b]x=(Pi/4)± arccos(sqrt(2)/4)+2Pim, m∈ Z[/b]
ИЛИ
cos((π/2)cosx)+(π/2) -(π/2)sinx)=0
(π/2)cosx+(π/4) -(π/2)sinx=(π/2)+πn, n ∈ Z
2cosx-2sinx=1+4n
Аналогично,
Так как
-4 меньше или равно 2cosx-2sinx меньше или равно 4, то
уравнение имеет корни при
-4 меньше или равно 1+4n меньше или равно 4,
-5 меньше или равно 4n меньше или равно 3
т.е при n=0
2cosx-2sinx=1
Вводим вспомогательный угол
Делим на sqrt(2^2+2^2)=sqrt(8)=2sqrt(2)
1/sqrt(2) cosx-(1/sqrt(2))sinx=1/2sqrt(2)
cos(x+(Pi/4))= (sqrt(2)/4)
x+(Pi/4)=± arccos(1/2sqrt(2))+2Pim, m∈ Z
[b]x=-(Pi/4)± arccos(sqrt(2)/4)+2Pim, m∈ Z[/b]
О т в е т. ±( Pi/4)± arccos(sqrt(2)/4)+2Pim, m∈ Z