Задача 26979 4.44) sin(Picosx)=cos(Pisinx)...

slava191

5 февраля 2018 г. в 00:00

4.44) sin(πcosx)=cos(πsinx)

SOVA

5 февраля 2018 г. в 00:00

★

sin(πcosx)=cos(πsinx)
По формулам приведения
cos(πsinx)=sin((π/2) –(πsinx))
sin(πcosx)=sin((π/2) –(πsinx))
или
sin(πcosx)–sin((π/2) –(πsinx))=0
2·sin((π/2)cosx–(π/4) +(π/2)sinx))·cos((π/2)cosx+(π/4) –(π/2)sinx)=0

sin((π/2)cosx–(π/4) +(π/2)sinx))=0
(π/2)cosx–(π/4) –(π/2)sinx)=πk, k ∈ Z
2cosx+2sinx=1+4k, k ∈ Z
Так как
–4 ≤ 2cosx+2sinx ≤ 4, то
уравнение имеет корни при
–4 ≤ 1+4k ≤ 4,
–5 ≤ 4k ≤ 3
т.е при k=0

2cosx+2sinx=1
Вводим вспомогательный угол
Делим на √2²+2²=√8=2√2
1/√2 cosx+(1/√2)sinx=1/2√2
cos(x–(π/4))= (√2/4)
x–(π/4)=± arccos(1/2√2)+2πm, m∈ Z
x=(π/4)± arccos(√2/4)+2πm, m∈ Z

ИЛИ

cos((π/2)cosx)+(π/2) –(π/2)sinx)=0
(π/2)cosx+(π/4) –(π/2)sinx=(π/2)+πn, n ∈ Z
2cosx–2sinx=1+4n

Аналогично,
Так как
–4 ≤ 2cosx–2sinx ≤ 4, то
уравнение имеет корни при
–4 ≤ 1+4n ≤ 4,
–5 ≤ 4n ≤ 3
т.е при n=0

2cosx–2sinx=1
Вводим вспомогательный угол
Делим на √2²+2²=√8=2√2
1/√2 cosx–(1/√2)sinx=1/2√2
cos(x+(π/4))= (√2/4)
x+(π/4)=± arccos(1/2√2)+2πm, m∈ Z
x=–(π/4)± arccos(√2/4)+2πm, m∈ Z

О т в е т. ±( π/4)± arccos(√2/4)+2πm, m∈ Z