Задача 28604 5y'' + 9y'-2y=2 sin 2x - 3 cos 2x...
Условие
Все решения
5y'' + 9y'–2y=0
Составляем характеристическое уравнение:
5k^2+9k-2=0
D=9^2-4*5*(-2)=81+40=121=11^2
k_(1)=(-9-11)/10=-2 или k_(2)=(-9+11)/10=0,2
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)e^(-2x) + C_(2)e^(0,2x)
Частное решение данного неоднородного уравнения находим в виде
у_(част)=Acos2x+Bsin2x
Находим
y`_(част)=-2Аsn2x+2Bcos2x
y``_(част)=-4Аcos2x-4Bsin2x
Подставляем
y_(част), y`_(част), y``_(част)
в данное уравнение:
5*(- 4Аcos2x - 4Bsin2x) + 9*(-2Аsn2x+2Bcos2x) -2*(Acos2x+Bsin2x) = 2 sin2x-3cos2x
Раскрываем скобки и группируем слагаемые с sin2x и cos2x
(-22B -18A)sin2x+(-22A+18B)cos2B=2sin2x-3cos2x
{-22B -18A=2
{-22A+18B=-3
{-9A - 11B = 1
{-22A +9B=-3
Первое уравнение умножим на 9, второе на 11
{-81A -99B=9
{-242A +99B=-33
Cкладываем
323А=24
А=24/323
B=(-9A-1)/11=-49/323
О т в е т.
y=y_(одн)+у_(част)=С_(1)e^(-2x) + C_(2)e^(0,2x)+(1/323)*(24sin2x-49cos2x)