Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 18104 Решите неравенство 2log4(x-1)^2 +...

Условие

Решите неравенство

2log4(x-1)^2 + (1/2)log(sqrt(2))(x+12) меньше или равно 2log2(3-x) - log(1/2)(x+7)

математика 10-11 класс 12322

Решение

ОДЗ состоит из системы четырех неравенств
{x-1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1;
{x+12 > 0 ⇒ x > -12 ;
{3-x > 0 ⇒ x < 3
{x+7 > 0 ⇒ x > - 7

ОДЗ: х ∈ (-7;1) U (1;3)

Приведем каждый логарифм основанию 2 и применим формулу
log_(a^k)b=1/k log_(a)b при a > 0; a ≠ 1; b > 0

log_(4)(x-1)^2=log_(2^2)(x-1)^2=(1/2)log_(2)(x-1)^2;
log√2(x+12)=log_(2^(1/2))(x+12)=2log_(2)(x+12)
log1/2(x+7) =log_(2^(-1))(x+7)=-log_(2)(x+7)

Неравенство принимает вид:
log_(2)(x-1)^2 +log_(2)(x+12) меньше или равно log_(2)(3-x)^2+log_(2) (x+7)

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log_(2) ((x-1)^2*(x+12)) меньше или равно log_(2) ((3-x)^2*(x+7)).
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
(х-1)^2*(x+12) меньше или равно (3-x)^2*(x+7)
Упрощаем
x^3-2x^2+x+12x^2-24x+12 меньше или равно 9x-6x^2+x^3+63-42x+7x^2;
9x^2+10x-51 меньше или равно 0

D=100-4*9*(-51)=100+1836=1936=44^2
x_(1)=(-10-44)/18=-3 или x_(2)=(-10+44)/18=34/18=17/9

x ∈ [-3; 17/9]

С учетом ОДЗ получаем
о т в е т
[-3;1)U(1;17/9]

Все решения

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК