Задача 18104 Решите неравенство 2log4(x-1)^2 +...

slava191

10 ноября 2017 г. в 00:00

Решите неравенство

2log₄(x–1)² + (1/2)log_√2(x+12) ≤ 2log₂(3–x) – log_1/2(x+7)

SOVA

10 ноября 2017 г. в 00:00

★

ОДЗ состоит из системы четырех неравенств
{x–1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1;
{x+12 > 0 ⇒ x > –12 ;
{3–x > 0 ⇒ x < 3
{x+7 > 0 ⇒ x > – 7

ОДЗ: х ∈ (–7;1) U (1;3)

Приведем каждый логарифм основанию 2 и применим формулу
log_a^kb=1/k log_ab при a > 0; a ≠ 1; b > 0

log₄(x–1)²=log_2²(x–1)²=(1/2)log₂(x–1)²;
log√2(x+12)=log_2^1/2(x+12)=2log₂(x+12)
log₁/2(x+7) =log_2^–1(x+7)=–log₂(x+7)

Неравенство принимает вид:
log₂(x–1)² +log₂(x+12) ≤ log₂(3–x)²+log₂ (x+7)

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log₂ ((x–1)²·(x+12)) ≤ log₂ ((3–x)²·(x+7)).
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
(х–1)²·(x+12) ≤ (3–x)²·(x+7)
Упрощаем
x³–2x²+x+12x²–24x+12 ≤ 9x–6x²+x³+63–42x+7x²;
9x²+10x–51 ≤ 0

D=100–4·9·(–51)=100+1836=1936=44²
x₁=(–10–44)/18=–3 или x₂=(–10+44)/18=34/18=17/9

x ∈ [–3; 17/9]

С учетом ОДЗ получаем
о т в е т
[–3;1)U(1;17/9]