Задача 37940 Полное исследование функции...
Условие
Y=((x-3)^2)/((x-2)^3)
Решение
Область определения (– ∞ ;2)U(2;+ ∞ )
х=2 – не входит в область определения,
является точкой разрыва 2 рода
Прямая х=2 – вертикальная асимптота
limx→2-0 f(x)=- ∞
limx→2+0 f(x)=+ ∞
Прямая y=0 – горизонтальная асимптота,
limx→ ∞f(x)=0
y`=((x–3)^2/(x-2)^3)`=
=(((x-3)^2)`*(x-2)^3-(x-3)^2*((x-2)^3)`) / (x-2)^6=
=(2(x-3)*(x-2)^3-(x-3)^2*3(x-2)^2)/(x-2)^6=
=(2x-4-3x+9)*(x-3)/(x-2)^4
=(5-x)(х-3)/(x-2)^4
y`=0
5-x=0 или x-3=0
x=5 или x=3
Расставляем знак производной
_-__ ( 2) __-__ (3) ___+__ (5) ___-__
x=3- точка минимума, производная меняет знак с - на +
x=5 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
y` > 0 на (3;5 )
функция возрастает на (3;5 )
y` < 0 на y` >0 на (– ∞;2) и на (2;3 ) и на (5;+ ∞)
функция убывает на (– ∞;2) и на (2;3) и на (5;+ ∞)