Задача 37940 Полное исследование функции...
Условие
Y=((x–3)2)/((x–2)3)
Решение
Область определения (– ∞ ;2)U(2;+ ∞ )
х=2 – не входит в область определения,
является точкой разрыва 2 рода
Прямая х=2 – вертикальная асимптота
limx→2–0 f(x)=– ∞
limx→2+0 f(x)=+ ∞
Прямая y=0 – горизонтальная асимптота,
limx→ ∞f(x)=0
y`=((x–3)2/(x–2)3)`=
=(((x–3)2)`·(x–2)3–(x–3)2·((x–2)3)`) / (x–2)6=
=(2(x–3)·(x–2)3–(x–3)2·3(x–2)2)/(x–2)6=
=(2x–4–3x+9)·(x–3)/(x–2)4
=(5–x)(х–3)/(x–2)4
y`=0
5–x=0 или x–3=0
x=5 или x=3
Расставляем знак производной
_–__ ( 2) __–__ (3) ___+__ (5) ___–__
x=3– точка минимума, производная меняет знак с – на +
x=5 – точка максимума, производная меняет знак с + на –
y` > 0 на (3;5 )
функция возрастает на (3;5 )
y` < 0 на y` >0 на (– ∞;2) и на (2;3 ) и на (5;+ ∞)
функция убывает на (– ∞;2) и на (2;3) и на (5;+ ∞)