Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 21705 Найдите значение выражения...

Условие

Найдите значение выражения 4cos(2Pi/17)cos(4PI/17)cos(8Pi/17)cos(16Pi/17)

математика 10-11 класс 3160

Решение

Пусть
2π/17= альфа, тогда
4PI/17=2 альфа
8π/17=4 альфа
16π/17=8 альфа альфа

4cos альфа *cos2 альфа *cos4 альфа *cos8 альфа =

Умножим и разделим на sin альфа

Тогда
sin альфа *cos альфа =(1/2)sin2 альфа
sin2 альфа *cos2 альфа =(1/2)sin4 альфа
sin4 альфа *cos4 альфа =(1/2)sin8 альфа
sin8 альфа *cos8 альфа =(1/2)sin16 альфа

4sin альфа *cos альфа *cos2 альфа *cos4 альфа *cos8 альфа /sin альфа =

=4*(1/2)sin2 альфа *cos2 альфа *cos4 альфа *cos8 альфа /sin альфа =

=4*(1/2)*(1/2)sin4 альфа *cos4 альфа *cos8 альфа /sin альфа

=4*(1/2)*(1/2)*(1/2)sin8 альфа *cos8 альфа /sin альфа=

=4*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)sin16 альфа /sin альфа.

Итак,

4cos(2π/17)cos(4PI/17)cos(8π/17)cos(16π/17)=

=4*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)sin32Pi|17/sin2Pi/17=

применяем формулы приведения

=(1/4)sin(2Pi-(2Pi/17))/sin(2Pi/17)=

=(1/4)(-sin(2Pi/17))/sin(2Pi/17)=-1/4

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК