Задача 36623 В правильной шестиугольной призме...

radostmalchikov

30 апреля 2019 г. в 20:00

В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой BC1 и плоскостью BDE1.

sova

30 апреля 2019 г. в 21:05

★

Вводим систему координат так, как показано на рисунке:

Cоставляем уравнение плоскости А₁Е₁BD, проходящей через три точки:
A₁ (√3;0;1)
B(√3;1;0)
D(0;1;0)

Пусть М(х;y;z) – произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
DM=(x;y–1;z)
DA₁=(√3;–1;1)
A₁B=(0;1;–1)
компланарны.
Определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0

y+z–1=0
Нормальный вектор плоскости
n=(0;1;1)

BC₁=((√3/2)–√3;(3/2)–1;1–0)=((–√3/2);1/2;1)

Находим скалярное произведение
n·BC₁=1·(–√3/2)+1·(1/2)+1·1=3/2

cos∠(n,BC₁)=(3/2)/(√2·√2)= 3/4

Это угол между нормалью и прямой BC₁
А угол между прямой и проекцией дополняет данный угол до 90 °.
cos(90^o– φ)=3/4
sinφ=3/4

О т в е т. arcsin(3/4)

Геометрический способ решения:
(см. рис.2)
Пл. сечения А₁Е₁BD– прямоугольник ( можно доказать)
(FC⊥BD)

Угол между прямой и плоскостью– угол между прямой и ее проекцией на плоскость. См. рис.
Это угол С₁ВМ.
С₁M ⊥ PK

sin ∠ С₁ВМ=C₁M/C₁B

C₁M=√2 – диагональ квадрата со стороной 2

PC₁=F₁C₁–F₁P=2–(1/2)=3/2

ΔC₁BK:
C₁K²=C₁B²–BK²=(√2)²–(√3/2)²=2–(3/4)=5/4
C₁K=√5/2

Δ PC₁K
PK=A₁B=√2

cos ∠ PC₁K=1/√5 по теореме косинусов из Δ PC₁K

sin ∠ PC₁K=2/√5

C₁M·PK=PC₁·C₁K·sin ∠ PC₁K

C₁M=3/2√2

sin ∠ С₁ВМ=C₁M/C₁B=3/(2·√2·√2)= 3/4

О т в е т. arcsin(3/4)