Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 29527 В окружность радиусом R вписан...

Условие

В окружность радиусом R вписан равнобедренный треугольник с острым углом а при основании. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности. [9.29]

математика 10-11 класс 4803

Решение

По теореме синусов:
AB/sin α =2R ⇒[b] AB=2R*sin α [/b]

ВС=АВ=2R*sin α

Проводим высоту равнобедренного треугольника ВК. Она одновременно и медиана и биссектриса.

АК=КС
Из прямоугольного треугольника АВК
ВК= AB*sin α =2R*sin α *sin α;
АК=AB*cos α =2R*sin α *cos α ⇒
АC=2АК=4R*sin α *cos α


По формуле:

r=S/p

S=(1/2)AC*BK=(2R*sin α *cos α)*(2R*sin α *sin α)=

=4R^2sin^3α*cosα;

p=(AB+BC+AC)/2=(2R*sin α+2R*sin α+4R*sin α *cos α)/2=

=2Rsinα (1+cos α )

r= (4R^2sin^3α*cosα)/(2Rsinα (1+cos α ))=

=2R*sin^2 α cos α /(1+cos α )=

=R*sin α *sin2 α /(1+cos α )

так как sin α/(1+cos α )=tg( α/2)

О т в е т. r=R*(sin2 α)*(tg( α/2))

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК