Задача 10762 ...

slava191

23 октября 2016 г.

Окружность ω с центром в точке О касается стороны BC треугольника ABC в точке M и продолжений сторон AB и AC. Вписанная в этот треугольник окружность с центром в точке Е касается стороны BC в точке K.

а) Докажите, что ВК=СМ.

б) Найдите площадь четырехугольника ОКЕМ, если известно, что АС=5, ВС=6, АВ=4.

SOVA

26 октября 2016 г.

★

Пусть АВ=с; BC=a; AC=b
Окружность ω является вневписанной окружностью.
Поэтому при решении задачи нужны некоторые свойства этой окружности.
Центр О этой окружности – точка пересечения биссектрис внешних углов B и С треугольника АВС.
По свойству касательной к окружности
ВТ=ВМ; СМ=CF; AT=AF
и AL=AD; BL=BK; CK=CD
Р( Δ АВС)=a+b+c= AB+BM+MC+AC= AB+BT+AC+CF=AT+AF=2AF⇒
AF=AT=P/2=p
Тогда BT=BM=p–c; CM=CF=p–b
AL=AD=p–a, так как
AL+LB+BK+KC+CD+AD=P, то
AL+AD+(BK+BK+KC+KC)=P;
2AL+2a=P ⇒ AL=p–a

Тогда ВК=ВL=AB–AL=c–(p–a)=a+c–p и
СM=BC–BM=a–BT=a–(p–c)=a+c–p
Откуда ВК=СМ.
Можно найти
КМ=BM–BK=BT–BK=(p–c)–(a+c–p)=2p–2c–a=b–c.
Известна формула нахождения радиуса вневписанной окружности ( находится методом площадей)
OT=OM=OF=S(Δ АВС)/(p–a)

OE=S/p

S(Δ АВС)=√7,5•(7,5–6)•(7,5–5)•(7,5–4)=
=15√7/4

OT=OM=OF=(15√7/4):(7,5–6)=5√7/4

OE=OK=OD=(15√7/4):7,5=√7/2

S(OKEM)= S(Δ EKM) + S(ΔKMO)= (KM•EK/2)+(KM•OK/2)=
=(KM/2)•(EK+OK)=((5–4)/2)(5√7/2+√7/2)=
=3√7/2.