y'=tgx∙tgy
2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
3x^4*y^2*y'=y^6-4x^6
3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
xy'-y=8x^3 *cos^2x
Уравнение с разделяющимися переменными.
y`=dy/dx
dy=tgx*tgydx
dy/tgy=tgx*dx
∫ ctgydy= ∫ tgxdx
Два табличных интеграла.
ln|siny|=-ln|cosx|+ln C ⇒ ln|siny|=lnC/|cosx| ⇒
siny=C/cosx
siny*cosx=C - [b]общее решение[/b]
3.
Делим на x:
y`-(1/x)y=8x^2*cos^2x [red](#)[/red]
Линейное неоднородное первого порядка. Решают[i] методом Бернулли [/i] (y=u(x)*v(x) )или [i]методом вариации произвольной постоянной[/i].
Решаем однородное:
y`-(1/x)y=0
Это уравнение с разделяющимися переменными
dy/y=dx/x
∫ dy/y= ∫ dx/x
ln|y|=ln|x|+ lnC
y=Cx
[i]Метод вариации[/i]
y=C(x)*x
y`=C`(x)*x+C(x)
Подставляем в неоднородное [red](#)[/red] :
C`(x)*x+C(x)-(1/x)*C(x)*x=8x^2*cos^2x
C`(x)*x=8x^2*cos^2x
C`(x)=8x*cos^2x
C(x)= ∫8x*cos^2xdx
По частям
u=x ⇒ du=dx
dv=cos^2xdx ⇒ v= ∫ cos^2xdx= ∫ (1+cos2x)dx/2 =(1/2)x+(1/4)sin2x
C(x)=x*((1/2)x+(1/4)sin2x)- ∫ ((1/2)x+(1/4)sin2x)dx
C(x)=(1/2)x^2+(1/4)x*sin2x-(1/4)x^2 -(1/8)*(-cos2x)+c
C(x)=(1/4)x^2+(1/4)x*sin2x-(1/8)*(-cos2x)+c
y=C(x)*x
у=(1/4)x^3+(1/4)x^2*sin2x -(1/8)x*(-cos2x)+cx - о т в е т.