Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 45822 ...

Условие

1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
y'=tg⁡x∙tg⁡y
2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
3x^4*y^2*y'=y^6-4x^6
3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
xy'-y=8x^3 *cos^2⁡x

математика ВУЗ 968

Все решения

1)
Уравнение с разделяющимися переменными.

y`=dy/dx

dy=tgx*tgydx

dy/tgy=tgx*dx

∫ ctgydy= ∫ tgxdx

Два табличных интеграла.

ln|siny|=-ln|cosx|+ln C ⇒ ln|siny|=lnC/|cosx| ⇒

siny=C/cosx

siny*cosx=C - [b]общее решение[/b]

3.
Делим на x:
y`-(1/x)y=8x^2*cos^2x [red](#)[/red]

Линейное неоднородное первого порядка. Решают[i] методом Бернулли [/i] (y=u(x)*v(x) )или [i]методом вариации произвольной постоянной[/i].

Решаем однородное:

y`-(1/x)y=0

Это уравнение с разделяющимися переменными

dy/y=dx/x


∫ dy/y= ∫ dx/x
ln|y|=ln|x|+ lnC

y=Cx

[i]Метод вариации[/i]

y=C(x)*x

y`=C`(x)*x+C(x)

Подставляем в неоднородное [red](#)[/red] :

C`(x)*x+C(x)-(1/x)*C(x)*x=8x^2*cos^2x

C`(x)*x=8x^2*cos^2x

C`(x)=8x*cos^2x

C(x)= ∫8x*cos^2xdx

По частям
u=x ⇒ du=dx
dv=cos^2xdx ⇒ v= ∫ cos^2xdx= ∫ (1+cos2x)dx/2 =(1/2)x+(1/4)sin2x


C(x)=x*((1/2)x+(1/4)sin2x)- ∫ ((1/2)x+(1/4)sin2x)dx

C(x)=(1/2)x^2+(1/4)x*sin2x-(1/4)x^2 -(1/8)*(-cos2x)+c

C(x)=(1/4)x^2+(1/4)x*sin2x-(1/8)*(-cos2x)+c

y=C(x)*x

у=(1/4)x^3+(1/4)x^2*sin2x -(1/8)x*(-cos2x)+cx - о т в е т.




Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК