Это значит, что расстояние d_(1) это точки до прямой l_(1) равно
расстоянию d_(2) это точки до прямой l_(2)
d_(1)=|4x-y+1|/sqrt(4^2+1^2)
d_(2)=|2x-y+1|/sqrt(2^2+1^2)
d_(1)=d_(2) ⇒ [b]|4x-y+1|/sqrt(4^2+1^2) =|2x-y+1|/sqrt(2^2+1^2) [/b](#)
Прямая 4x–y+1=0 разбивает плоскость хОу на две области:
4x–y+1>0 или 4x–y+1<0
Подставляем координаты точки М в неравенство 4*1–2+1>0 - верно;
Прямая 2x–y+1=0 разбивает плоскость хОу на две области:
2x–y+1>0 или 2x–y+1<0
Подставляем координаты точки М в неравенство 2*1–2+1>0 - верно;
Значит точка M принадлежит области
4x–y+1>0
2x–y+1>0
а смежные области задаются неравенствами противоположных знаков.
Поэтому в (#) знак модуля раскрывается так:
(4x-y+1)/sqrt(4^2+1^2) =- (2x-y+1)/sqrt(2^2+1^2)
4sqrt(5)x-sqrt(5)y+sqrt(5)=-2sqrt(17)x+sqrt(17)y-sqrt(17);
(4sqrt(5)+2sqrt(17))*x - (sqrt(5)+sqrt(17))*y+sqrt(5)+sqrt(17)=0
Делим на (sqrt(5)+sqrt(17))
((2sqrt(17)+4sqrt(5))/(sqrt(17)+sqrt(5))) * x - y + 1=0
Избавляемся от иррациональности в знаменателе
(2sqrt(17)+4sqrt(5))*(sqrt(17)-sqrt(5))/(sqrt(17))^2-(sqrt(5))^2 =(14-2sqrt(85))/12
О т в е т.
[b]((7 - sqrt(85))/6)*x - y + 1 = 0[/b]