Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 34288 Составить уравнение биссектрисы угла...

Условие

Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми l1(4x–y+1=0) и l2(2x–y+1=0) смежного с углом, содержащим точку M(1;2)

предмет не задан 10673

Решение

Пусть точка Р(х;у) лежит на биссектрисе угла между прямыми.
Это значит, что расстояние d_(1) это точки до прямой l_(1) равно
расстоянию d_(2) это точки до прямой l_(2)

d_(1)=|4x-y+1|/sqrt(4^2+1^2)
d_(2)=|2x-y+1|/sqrt(2^2+1^2)

d_(1)=d_(2) ⇒ [b]|4x-y+1|/sqrt(4^2+1^2) =|2x-y+1|/sqrt(2^2+1^2) [/b](#)

Прямая 4x–y+1=0 разбивает плоскость хОу на две области:
4x–y+1>0 или 4x–y+1<0
Подставляем координаты точки М в неравенство 4*1–2+1>0 - верно;
Прямая 2x–y+1=0 разбивает плоскость хОу на две области:
2x–y+1>0 или 2x–y+1<0
Подставляем координаты точки М в неравенство 2*1–2+1>0 - верно;

Значит точка M принадлежит области
4x–y+1>0
2x–y+1>0
а смежные области задаются неравенствами противоположных знаков.

Поэтому в (#) знак модуля раскрывается так:
(4x-y+1)/sqrt(4^2+1^2) =- (2x-y+1)/sqrt(2^2+1^2)

4sqrt(5)x-sqrt(5)y+sqrt(5)=-2sqrt(17)x+sqrt(17)y-sqrt(17);

(4sqrt(5)+2sqrt(17))*x - (sqrt(5)+sqrt(17))*y+sqrt(5)+sqrt(17)=0

Делим на (sqrt(5)+sqrt(17))

((2sqrt(17)+4sqrt(5))/(sqrt(17)+sqrt(5))) * x - y + 1=0

Избавляемся от иррациональности в знаменателе

(2sqrt(17)+4sqrt(5))*(sqrt(17)-sqrt(5))/(sqrt(17))^2-(sqrt(5))^2 =(14-2sqrt(85))/12

О т в е т.

[b]((7 - sqrt(85))/6)*x - y + 1 = 0[/b]

Все решения

Написать комментарий

Категория

Меню

Присоединяйся в ВК