✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 21938 а) Решите уравнение

УСЛОВИЕ:

а) Решите уравнение cos^25x+2cos5xsin(x-Pi/10)+1=0
б) Найдите решения уравнения, принадлежащие промежутку [2016Pi; 2017Pi].

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

cos5x=a
sin(x-(Pi/10))=b
a^2+2a*b+1=a^2+2ab+b^2-b^2+1
Прибавим и вычтем
sin^2(x-(Pi/10))

Выделим полный квадрат
(сos5x+sin(x-(Pi/10))^2+1-sin^2(x-(Pi/10))=0

Так как
1-sin^2(x-(Pi/10))=сos^2((x-(Pi/10))

уравнение принимает вид
(сos5x+sin(x-(Pi/10))^2+cos^2(x-(Pi/10))=0

Cумма двух неотрицательных выражений равна 0 тогда и только тогда, когда каждое из них равно 0
{сos5x+sin(x-(Pi/10))=0
{cos(x-(Pi/10))=0
Решаем первое уравнение:
Так как
cos5x=sin((Pi/2)-5x), то

sin((Pi/2)-5x)+sin(x-(Pi/10))=0
2*sin((2Pi/10)-2x)*cos((3Pi/10)-3x)=0

sin((2Pi/10)-2x)=0 или cos((3Pi/10)-3x)=0
Используем свойство нечетности синуса и четности косинуса

-sin(2х-(2Pi/10))=0 ⇒ 2х-(2Pi/10)=Pik, k ∈ Z ⇒
2x=(Pi/5)+Pik, k ∈ Z ⇒ x=(Pi/10)+(Pi/2)*k, k ∈ Z

cos(3x-(3Pi/10))=0 ⇒ 3х-(3Pi/10)=(Pi/2)+Pin, n ∈ Z ⇒
3x=(3Pi/10)+(Pi/2)+Pim, m ∈ Z ⇒
x=(Pi/10)+(Pi/6)+(Pi/3)*m, m ∈ Z ⇒
x=(4Pi/15)+(Pi/3)*m, m ∈ Z

Решаем второе уравнение
cos(x-(Pi/10))=0
x-(Pi/10)=(Pi/2)+Pin, n ∈ Z
⇒ х=(Pi/10)+(Pi/2)+Pin, n ∈ Z
х=(6Pi/10)+Pin, n ∈ Z

Решение системы
{ x=(Pi/10)+(Pi/2)*k, k ∈ Z или =(4Pi/15)+(Pi/3)*m, m ∈ Z
{x=(6Pi/10)+Pin, n ∈ Z

О т в е т а).(6Pi/10)+Pin, n ∈ Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни
2016Pi < (6Pi/10)+Pin < 2017Pi
2016 < (6/10)+n < 2017
20160 < 6+10n < 20170
20154 < 10n < 20164
n=2016

(6Pi/10)+Pi*2016=(20166/10)Pi ∈ [2016π; 2017π]

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?
Показать имеющиеся вопросы (1)

Добавил slava191, просмотры: ☺ 7919 ⌚ 02.01.2018. математика 10-11 класс

Решения пользователелей

Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

РЕШЕНИЕ ОТ u821511235

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

Написать комментарий

Последнии решения
Повторные испытания с двумя исходами
p=0,45 - вероятность выигрыша
q=1-p=1-0,45=0,55 - вероятность проигрыша

p^2q^3=0,45*0,45*0,55*0,55*0,55 = о т в е т.

[удалить]
✎ к задаче 33839
По формулам приведения
sin((5π/2)-x)=cosx
По формулам двойного аргумента
cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1
тогда уравнение примет вид:
2sin2x*cosx -sqrt(3)*sin2x +2cos^2x-1 - sqrt(3)cosx+1=0
sin2x(2cosx-sqrt(3))+cosx*(2cosx-sqrt(3))=0
(2cosx-sqrt(3))*(sin2x+cosx)=0
2cosx-sqrt(3)=0 или sin2x+cosx=0

(1) уравнение
2cosx-sqrt(3)=0
cosx=sqrt(3)/2
[b]x= ± (π/6)+2πn, n ∈ Z[/b]

(2) уравнение
sin2x+cosx=0
2sinx*cosx+cosx=0
cosx=0 или 2sinx+1=0

cosx=0
[b]x= (π/2)+πm, m ∈ Z[/b]

2sinx+1=0
sinx=-1/2
[b]x=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z[/b]

Ответы ± (π/6)+2πn, n ∈ Z и (-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z
имеют пересечение в точке
- (π/6)+2πn, поэтому можно включить в ответ только один раз

О т в е т:
а)± (π/6)+2πn, (π/2)+πm, (-5π/6)+2πk, n , m, k ∈ Z
или
так:
а)(π/6)+πn, (-π/6)+2πk, (π/2)+πm, n , k, m ∈ Z

б)
(π/6);(π/2) и (7π/6) принадлежат отрезку [0;4]
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 33837
ОДЗ:
сosx ≠ 0 ⇒ x ≠ (π/2)+πk, k ∈ Z

Перемножаем крайние и средние члены пропорции:
2sqrt(3)cos^3x+6cosx=3cos^2x+4sqrt(3)cos^2x
cosx*(2sqrt(3)cos^2x -(3+4sqrt(3))cosx+6)=0
cosx ≠ 0
Решаем квадратное уравнение
D=(3+4sqrt(3))^2-4*2sqrt(3)*6=(3-4sqrt(3))^2
cosx=2 - уравнение не имеет корней, так как -1 ≤ сosx ≤1

cos=sqrt(3)/2
[b]x= ± (π/6)+2πk, k ∈ Z[/b]

Отрезку [-1;3] принадлежат корни
x=(-π/6);(π/6)
[удалить]
✎ к задаче 33833
3x+4y=25 ⇒ y=(25-3x)/4

z=x^2+((25-3x)^2/16)

z=(1/16)*(25x^2-150x +625)

z`_(x)=50x-150
z`_(x)=0
50x-150=0
x=3 - точка минимума

y=(25-9)/4
(3;4) - точка условного минимума

z(3;4)=25

О т в е т. z_(наименьшее)=25
[удалить]
✎ к задаче 33832
z`_(x)=6x^2-y^2+10x
z`_(y)=-2xy+2y


Находим стационарные точки
{z`x=0
{z`y=0

{6x^2-y^2+10x=0
{-2xy+2y=0

{6x^2-y^2+10x=0
{2y*(-x+1)=0 ⇒ y=0; x=1

При y=0
6x^2-10x=0
x=0; x=5/3

При х=1
y^2=16
y= ± 4

Ни одна из них не является внутренней точкой области D.

Исследуем функцию на границе:
при[b]y=x[/b]
z=2x^3-x^3+6x^2
z=x^3+6x^2

Это функция одной переменной, исследуем ее как обычную параболу
при 0 ≤ x ≤ 1


Если х=0; y=0
z(0;0)=0

z=x^3+6x^2 возрастает на [0;1]

При x=1; y=1
z(1;1)=2-1+5+1=7

при [b]y=0[/b]
z=2x^3+5x^2 – как функция одной переменной на [0;1], эта функция принимает наибольшее значение при х=1,
наименьшее при х=0,

Если x=0; y=0
z=(0;0)=0
Если x=1;y=0
z=2*1–0+5*1+0 = 7
z(1;0)=7

При [b]x=0[/b]
z=y^2 – как функция одной переменной 0 ≤ y ≤ 1
Эта функция принимает наименьшее при y=0,
наибольшее значение при y=1:

z(0;0)=0
z(0;1)=0-0+0+1=1

При [b]x=1[/b]
z=2-y^2+5 +y^2
z=7
Эта функция принимает постоянное значение,
наибольшее значение при y=1:

z(1;0)=7
z(1;1)=7
О т в е т.
Наибольшее значение функции в области D равно 7; наименьшее равно 0.

(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 33831