Задача 21938 а) Решите уравнение...

slava191

1 февраля 2018 г. в 00:00

а) Решите уравнение cos²5x+2cos5xsin(x–π/10)+1=0

б) Найдите решения уравнения, принадлежащие промежутку [2016π; 2017π].

SOVA

1 февраля 2018 г. в 00:00

★

cos5x=a
sin(x–(π/10))=b
a²+2a·b+1=a²+2ab+b²–b²+1
Прибавим и вычтем
sin²(x–(π/10))

Выделим полный квадрат
(сos5x+sin(x–(π/10))²+1–sin²(x–(π/10))=0

Так как
1–sin²(x–(π/10))=сos²((x–(π/10))

уравнение принимает вид
(сos5x+sin(x–(π/10))²+cos²(x–(π/10))=0

Cумма двух неотрицательных выражений равна 0 тогда и только тогда, когда каждое из них равно 0
{сos5x+sin(x–(π/10))=0
{cos(x–(π/10))=0
Решаем первое уравнение:
Так как
cos5x=sin((π/2)–5x), то

sin((π/2)–5x)+sin(x–(π/10))=0
2·sin((2π/10)–2x)·cos((3π/10)–3x)=0

sin((2π/10)–2x)=0 или cos((3π/10)–3x)=0
Используем свойство нечетности синуса и четности косинуса

–sin(2х–(2π/10))=0 ⇒ 2х–(2π/10)=πk, k ∈ Z ⇒
2x=(π/5)+πk, k ∈ Z ⇒ x=(π/10)+(π/2)·k, k ∈ Z

cos(3x–(3π/10))=0 ⇒ 3х–(3π/10)=(π/2)+πn, n ∈ Z ⇒
3x=(3π/10)+(π/2)+πm, m ∈ Z ⇒
x=(π/10)+(π/6)+(π/3)·m, m ∈ Z ⇒
x=(4π/15)+(π/3)·m, m ∈ Z

Решаем второе уравнение
cos(x–(π/10))=0
x–(π/10)=(π/2)+πn, n ∈ Z
⇒ х=(π/10)+(π/2)+πn, n ∈ Z
х=(6π/10)+πn, n ∈ Z

Решение системы
{ x=(π/10)+(π/2)·k, k ∈ Z или =(4π/15)+(π/3)·m, m ∈ Z
{x=(6π/10)+πn, n ∈ Z

О т в е т а).(6π/10)+πn, n ∈ Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни
2016π < (6π/10)+πn < 2017π
2016 < (6/10)+n < 2017
20160 < 6+10n < 20170
20154 < 10n < 20164
n=2016

(6π/10)+π·2016=(20166/10)π ∈ [2016π; 2017π]