Задача 44974 Решите систему...

vk308634721

11 марта 2020 г. в 23:40

Решите систему уравнений
(х)²+ху+(у)²=19
(х)⁴+(х)²(у)²+(у)⁴=133

sova

11 марта 2020 г. в 23:48

Замена переменной:
$x^2+y^2=u$
$x\cdot y=v$
тогда

$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=u^2-2v^2$

$x^4+x^2y^2+y^4==u^2-2v^2+v^2=u^2-v^2$

Система принимает вид:

{$u+v=19$
{$u^2-v^2=133$

{$u+v=19$
{$(u-v)\cdot (u+v)=133$

{$u+v=19$
{$(u-v)\cdot 19=133$

{$u+v=19$
{$u-v=7$

Складываем:
{$2u=26$
{$u-v=7$

{$u=13$
{$v=u-7=6$

Обратный переход:

{$x^2+y^2=13$
{$x\cdot y=6$

Второе умножаем на 2:
{$x^2+y^2=13$
{$2\cdot x\cdot y=12$

Складываем:
$(x+y)^2=25$ ⇒ $x+y=5$ или $х+у=-5$
Вычитаем
$(x-y)^2=1$ ⇒ [/m] x–y=1$или$x–y= –1[m]