Задача 49050 ...

vk476809498

2020-04-30 21:56:40

На окружности верхнего основания цилиндра выбрана точка А, а на окружности нижнего – точка С, причем отрезок АС пересекает ось цилиндра. На одной из образующих цилиндра выбрана внутренняя точка В. а) Докажите, что угол АВС – тупой.
б) Найдите радиус цилиндра, если В –середина образующей. АВ = 3, ВС = 5, угол АВС = 120º.

sova

2020-04-30 22:04:46

★

По условию :АС пересекает ось цилиндра ⇒ проекциями АС на плоскости оснований являются диаметры оснований АР и СF.

( проекция точки А - точка F, проекция точки С - точка P)

Пусть точка В ∈ образующей KM ⇒ проекциями точки В на плоскости оснований являются точки K и М.
( cм. рис.)

ΔFMC и Δ АКР - прямоугольные, угол, опирающийся на диаметр, равен 90 °

MC - проекция BC
MC ⊥ MF ⇒ BC ⊥ MF

MF- проекция BA
MF ⊥ MC ⇒ ⇒ BA ⊥ MC



б) По теореме косинусов из Δ АВС:
АС^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos120 ° =3^2+5^2-2*3*5*(-1/2)=49
[b]АС=7[/b]

Пусть высота цилиндра равна 2х.
ВК=ВМ=х

Из Δ АСР:
AP^2=AC^2-(2x)^2=49-4x^2

Δ АРК:
АР^2=АК^2+KP^2=3^2-x^2+5^2-x^2=34-2x^2

Уравнение:
49-4x^2=34-2x^2
15=2x^2
x^2=15/2

АP^2=49-4x^2=49-4*(15/2)=49-30=19

AP=sqrt(19)

R=AP/2=sqrt(19)/2