Задача 29742 (sqrt(5+2sqrt(6)))^(sinx)+(sqrt(5-2sqrt(6)))^(sinx)...

slava191

22 сентября 2018 г. в 10:01

(√5+2√6)^sinx+(√5–2√6)^sinx = 10/3 [7.59]

sova

3 октября 2018 г. в 22:21

★

Так как
5+2√6=2+2·√2·√3 + 3=(√2+√3)²

√5+2√6=√2+√3

5–2√6=2–2·√2·√3 + 3=(√2–√3)²

√5–2√6=|√2–√3|=√3–√2

Кроме того
(√3+√2)·(√3–√2)=3–2=1

Основания (√3+√2) и (√3–√2) взаимно обратны.

Обозначим

(√5+2√6)^sinx=(√3+√2)^sinx =t
t>0

Тогда

(√5–2√6)^sinx=(√3–√2)^sinx=1/t

Уравнение принимает вид:

t+(1/t)=10/3

3t²–10t+3=0
D=100–4·3·3=64

t₁=1/3 или t₂=3

Обратная замена

1)
(√3+√2)^sinx=1/3

sinx=log_√3+√2(1/3)

Так как
log_√3+√2(1/3)=

=log_√3+√23^–1=

= –log_√3+√23=

=log_√3+√2^–13=

=log_√3–√2^–13> –1

|sinx|≤ 1

Уравнение не имеет корней.


2)
(√3+√2)^sinx=3

sinx=log_√3+√23

или

x=(–1)^k arcsin(log_√3+√23)+πk, k ∈ Z

О т в е т. (–1)^k arcsin(log_√3+√23)+πk, k ∈ Z