Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 29742 (sqrt(5+2sqrt(6)))^(sinx)+(sqrt(5-2sqrt(6)))^(sinx)...

Условие

(sqrt(5+2sqrt(6)))^(sinx)+(sqrt(5-2sqrt(6)))^(sinx) = 10/3 [7.59]

математика 10-11 класс 1751

Решение

Так как
5+2sqrt(6)=2+2*sqrt(2)*sqrt(3) + 3=(sqrt(2)+sqrt(3))^2

sqrt(5+2sqrt(6))=sqrt(2)+sqrt(3)

5-2sqrt(6)=2-2*sqrt(2)*sqrt(3) + 3=(sqrt(2)-sqrt(3))^2

sqrt(5-2sqrt(6))=|sqrt(2)-sqrt(3)|=sqrt(3)-sqrt(2)

Кроме того
(sqrt(3)+sqrt(2))*(sqrt(3)-sqrt(2))=3-2=1

Основания (sqrt(3)+sqrt(2)) и (sqrt(3)-sqrt(2)) взаимно обратны.

Обозначим

(sqrt(5+2sqrt(6)))^(sinx)=(sqrt(3)+sqrt(2))^(sinx) =t
t>0

Тогда

(sqrt(5-2sqrt(6)))^(sinx)=(sqrt(3)-sqrt(2))^(sinx)=1/t

[b] Уравнение принимает вид: [/b]

t+(1/t)=10/3

3t^2-10t+3=0
D=100-4*3*3=64

t_(1)=1/3 или t_(2)=3

Обратная замена

1)
(sqrt(3)+sqrt(2))^(sinx)=1/3

sinx=log_(sqrt(3)+sqrt(2))(1/3)

Так как
log_(sqrt(3)+sqrt(2))(1/3)=

=log_(sqrt(3)+sqrt(2))3^(-1)=

= -log_(sqrt(3)+sqrt(2))3=

=log_(sqrt(3)+sqrt(2))^(-1)3=

=log_(sqrt(3)-sqrt(2))^(-1)3> -1

|sinx|≤ 1

Уравнение не имеет корней.


2)
(sqrt(3)+sqrt(2))^(sinx)=3

sinx=log_(sqrt(3)+sqrt(2))3

или

x=(-1)^k arcsin(log_(sqrt(3)+sqrt(2))3)+πk, k ∈ Z

О т в е т. (-1)^k arcsin(log_(sqrt(3)+sqrt(2))3)+πk, k ∈ Z

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК