Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 45622 Четыре окружности, построенные как на...

Условие

Четыре окружности, построенные как на диаметрах на сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD, имеют общую точку, лежащую внутри четырёхугольника.

а) Докажите, что диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если длина диагонали АС равна sqrt(2), а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, перпендикулярны. [16п4]

математика 10-11 класс 1845

Решение

а)
Если внутри четырехугольника есть точка М, не принадлежащая всем четырем окружностям, то из этой точки все стороны четырехугольника видны по острым углом.
∠ 1 <90 °
∠ 2 <90 °
∠ 3 <90 °
∠ 4 ∠ 90 °

Но тогда 360 °[b] =[/b] ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4[b] < 360 ° [/b]
Что невозможно. Значит
M- точка, в которой пересекаются все четыре окружности
и
∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4=90 ° ⇒ диагонали четырехугольника [i]взаимно перпендикулярны.[/i]

б)
На рис. 2
К-середина АВ
L-середина ВС
M- середина CD
N- середина AD
Тогда
KL=MN ( KL - средняя линия Δ АВС, MN - средняя линия Δ АDС)
KN=LM (KN-средняя линия Δ АВD, MN - средняя линия Δ BCD)

⇒ KLMN - параллелограмм, диагонали которого взаимно перпедикулярны.
Значит KLMN- ромб

KL || AC
KN|| BD

AC ⊥ BD ⇒ KLMN - квадрат ⇒ BD=AC

S_(ABCD)=(1/2)AC*BD=(1/2)*sqrt(2)*sqrt(2)=1

О т в е т. 1

Написать комментарий

Категория

Меню

Присоединяйся в ВК