Задача 10056 В треугольнике АВС угол С в два раза...

slava191

22.09.2016

В треугольнике АВС угол С в два раза меньше разности углов В и А и в пять раз меньше суммы углов В и А. Найдите площадь треугольника, если высота BD равна 6 см.

SOVA

22.09.2016

★

По условию:
∠С= (∠В-∠А)/2;
∠С= (∠В+∠А)/5;
значит
(∠В-∠А)/2=(∠В+∠А)/5;
5∠В-5∠А=2∠В+2∠А;
3∠В=7∠А;
∠В=7∠А/3;
∠С= (∠В+∠А)/5= ((7∠А/3)+∠А)/5;
∠С=2∠А/3.
Сумма углов треугольника 180 градусов.
∠А+∠В+∠С=180 градусов;
∠А+(7∠А/3)+(2∠А/3)=180 градусов;
4∠А=180 градусов;
∠А=45 градусов;
∠С=(2•45/3)=30 градусов.

Δ ABD - прямоугольный равнобедренный. AD=BD=6 см
Δ BCD - прямоугольный c острым углом С в 30 градусов.
Катет, против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, значит BC = 12 см.
По теореме Пифагора
DC^2=BC^2-BD^2=12^2-6^2=144-36=108
DC=6√3 cм.
AC=AD+DC=(6+6√3) cм.
S (Δ АВС) = АС• BD/2=(6+6√3)• 6/2=18•(1+√3) кв. см
О т в е т. 18•(1+√3) кв. см