Задача 47646 Помогите решить неравенство ...
Условие
Решение
3^(2-x)=3^2*3^(-x)
(9*3^(x)+9*3^(-x))*x^2 ≥ 45x^2/2
3^(x) > 0 при любом х
Делим на 9 и умножаем на 2*3^(x)
(2*3^(2x) + 2)*x^2 ≥ 5*x^2*3^(x)
(2*3^(2x) + 2- 5*3^(x))*x^2 ≥ 0 - неравенство нестрогое
При[b] x=0 [/b]- верно. Значит[b] x = 0 - решение неравенства[/b]
Так как
x^2 ≥ 0 при любом х ⇒
2*3^(2x) + 2- 5*3^(x) ≥ 0
Решаем уравнение:
[b]2*3^(2x) + 2- 5*3^(x)=0[/b] - это квадратное уравнение
3^(x)=t
2t^2-5t+2=0
D=25-4*2*2 =9
t_(1)=(5-3)/4=1/2; t_(2)=(5+3)/4=2
__+__ [1/2] _____ [2] __+___
Решение неравенства:
2*3^(2x) + 2- 5*3^(x) ≥ 0
[b]3^(x) ≤ (1/2)[/b] или [b]3^(x) ≥ 2[/b]⇒
Показательная функция с основанием 3 возрастает, меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента:
x ≤ log_(3)(1/2) или x ≥ log_(3)2
log_(3)(1/2) < log_(3)1=0
[b]log_(3)(1/2)< 0[/b]
log_(3)2 > log_(3)1=0
[b]log_(3)2 >0[/b]
О т в е т. (- ∞ ; log_(3)(1/2)] U {0} U[ log_(3)2;+ ∞ )