Задача 47646 Решить неравенство (3^(x+2) + 3^(2-x))...

igorevna5

20 апреля 2020 г. в 13:07

Решить неравенство

(3^x+2 + 3^2–x) x² >= 45x² / 2

sova

20 апреля 2020 г. в 13:43

★

3^x+2=3^x·3²=9·3^x

3^2–x=3²·3^–x

(9·3^x+9·3^–x)·x² ≥ 45x²/2

3^x > 0 при любом х

Делим на 9 и умножаем на 2·3^x

(2·3^2x + 2)·x² ≥ 5·x²·3^x

(2·3^2x + 2– 5·3^x)·x² ≥ 0 – неравенство нестрогое

При x=0 – верно. Значит x = 0 – решение неравенства

Так как

x² ≥ 0 при любом х ⇒


2·3^2x + 2– 5·3^x ≥ 0

Решаем уравнение:

2·3^2x + 2– 5·3^x=0 – это квадратное уравнение

3^x=t

2t²–5t+2=0


D=25–4·2·2 =9

t₁=(5–3)/4=1/2; t₂=(5+3)/4=2

__+__ [1/2] _____ [2] __+___

Решение неравенства:

2·3^2x + 2– 5·3^x ≥ 0

3^x ≤ (1/2) или 3^x ≥ 2⇒

Показательная функция с основанием 3 возрастает, меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента:


x ≤ log₃(1/2) или x ≥ log₃2


log₃(1/2) < log₃1=0

log₃(1/2)< 0

log₃2 > log₃1=0

log₃2 >0


О т в е т. (– ∞ ; log₃(1/2)] U {0} U[ log₃2;+ ∞ )