Задача 35687 Решить с помощью рационализации...
Условие
Решение
ОДЗ:
{x>0
{x ≠ 1
{2x ≠ 1
x ∈ (0;1/2)U(1/2;1)U(1;+ ∞0
Замена переменной:
log_(2)x=t
log_(x)2=1/t
log_(2x)2=log_(2)2/log_(2)(2x)=1/(log_(2)2+log_(2)x)=1/(1+t)
(1/t)+2*(1/(1+t)) ≥ 2
(t+1 +2t -2t*(1+t))/(t*(1+t)) ≥ 0
(-2t^2+t+1)/(t*(t+1)) ≥ 0
(2t^2-t-1)/(t*(t+1)) ≤ 0
D=9
t=-1/2; t=1
_+__ (-1) _-__ [-1/2] _+__ (0) __-____[1] __+__
-1 < t ≤ -1/2 или 0 < t ≤ 1
Обратная замена
-1 <log_(2)x ≤ -1/2 или 0 < log_(2)x ≤ 1
-1log_(2)2 <log_(2)x ≤ (-1/2)*log_(2)2 или log_(2)1< log_(2)x ≤ log_(2)2
y=log_(2)x возрастающая функция, поэтому
[b]1/2 < x ≤ 1/sqrt(2) или 1 < x ≤ 2[/b]
2.
Применяем метод интервалов:
Нули числителя:
∛x^2+6x+2 - ∛4x+17=0
∛x^2+6x+2 = ∛4x+17
x^2+6x+2 =4x+17
x^2+2x-15=0
D=4+60=64
x_(1)=-5; x_(2)=3
Нули знаменателя:
2^(x)-8=0
2^(x)=2^(3)
[b]x=3[/b]
Расставляем знаки:
∛x^2+6x+2 - ∛4x+17≥ 0 или
∛x^2+6x+2 ≥ ∛4x+17 ⇔ x^2+2x-15 ≥0
при х ∈(-∞;-5] U [3;+∞)
2^(x)-8 >0 при х ∈ (3;+∞)
__-__ [-5] ___+__ (3) __+__
О т в е т. [b][-5;3) U (3;+ ∞) [/b]