Задача 35687 ...

vk176917105

11 апреля 2019 г. в 08:35

Решить с помощью рационализации

logₓ 2 + 2 log₂ₓ 2 ≥ 2.

³√(x² + 6x + 2) – ³√(4x + 17)
–––––––––––––––––––––– ≥ 0.
2x – 8

sova

11 апреля 2019 г. в 13:35

★

1)
ОДЗ:
{x>0
{x ≠ 1
{2x ≠ 1

x ∈ (0;1/2)U(1/2;1)U(1;+ ∞0

Замена переменной:

log₂x=t

log_x2=1/t

log_2x2=log₂2/log₂(2x)=1/(log₂2+log₂x)=1/(1+t)

(1/t)+2·(1/(1+t)) ≥ 2

(t+1 +2t –2t·(1+t))/(t·(1+t)) ≥ 0

(–2t²+t+1)/(t·(t+1)) ≥ 0

(2t²–t–1)/(t·(t+1)) ≤ 0

D=9
t=–1/2; t=1

_+__ (–1) _–__ [–1/2] _+__ (0) __–____[1] __+__

–1 < t ≤ –1/2 или 0 < t ≤ 1

Обратная замена
–1 <log₂x ≤ –1/2 или 0 < log₂x ≤ 1

–1log₂2 <log₂x ≤ (–1/2)·log₂2 или log₂1< log₂x ≤ log₂2


y=log₂x возрастающая функция, поэтому

1/2 < x ≤ 1/√2 или 1 < x ≤ 2

2.
Применяем метод интервалов:

Нули числителя:

∛x²+6x+2 – ∛4x+17=0

∛x²+6x+2 = ∛4x+17

x²+6x+2 =4x+17

x²+2x–15=0

D=4+60=64

x₁=–5; x₂=3


Нули знаменателя:

2^x–8=0

2^x=2³

x=3

Расставляем знаки:
∛x²+6x+2 – ∛4x+17≥ 0 или
∛x²+6x+2 ≥ ∛4x+17 ⇔ x²+2x–15 ≥0
при х ∈(–∞;–5] U [3;+∞)

2^x–8 >0 при х ∈ (3;+∞)


__–__ [–5] ___+__ (3) __+__

О т в е т. [–5;3) U (3;+ ∞)