Задача 29501 7.7) 2^x+2^(|x|) больше или равно...

slava191

7 сентября 2018 г. в 19:52

7.7) 2^x+2^|x| ≥ 2√2

sova

7 сентября 2018 г. в 21:05

★

Раскрываем знак модуля.

1) если x ≥ 0, |x|=x
неравенство принимает вид:
2^x+2^x ≥ 2√2
2·2^x ≥ 2√2
2^x ≥ √2
x ≥ 1/2
C условием x ≥ 0 получаем ответ 1) [1/2; + ∞ )

2)1) если x < 0, |x|= –x
неравенство принимает вид:
2^x+2^–x ≥ 2√2
((2^x)² – 2√2·2^x+1)/2^x ≥ 0;
2^x >0 при любом х, поэтому остается решить неравенство:
(2^x)² – 2√2·2^x+1 ≥ 0;

D=8–4=4
корни √2± 1

решение неравенства
2^x ≤ √2 –1 или 2^x ≥ √2 +1
Показательная функция с основанием 2 > 1 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение
аргумента:
x ≤ log₂(√2 –1) или x ≥ log₂( √2 +1)
С учетом условия 2) x<0
получаем ответ 2)
(– ∞; log₂(√2–1)]
Окончательный ответ – объединение ответов 1) и 2)

О т в е т. (– ∞; log₂(√2–1)] U [1/2; + ∞ )