Задача 29501 7.7) 2^x+2^(|x|) больше или равно...
Условие
Решение
1) если x ≥ 0, |x|=x
неравенство принимает вид:
2^(x)+2^(x) ≥ 2sqrt(2)
2*2^(x) ≥ 2sqrt(2)
2^x ≥ sqrt(2)
x ≥ 1/2
C условием x ≥ 0 получаем ответ 1) [1/2; + ∞ )
2)1) если x < 0, |x|= -x
неравенство принимает вид:
2^(x)+2^(-x) ≥ 2sqrt(2)
((2^(x))^2 - 2sqrt(2)*2^(x)+1)/2^(x) ≥ 0;
2^x >0 при любом х, поэтому остается решить неравенство:
(2^(x))^2 - 2sqrt(2)*2^(x)+1 ≥ 0;
D=8-4=4
корни sqrt(2)± 1
решение неравенства
2^(x) ≤ sqrt(2) -1 или 2^(x) ≥ sqrt(2) +1
Показательная функция с основанием 2 > 1 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение
аргумента:
x ≤ log_(2)(sqrt(2) -1) или x ≥ log_(2)( sqrt(2) +1)
С учетом условия 2) x<0
получаем ответ 2)
(- ∞; log_(2)(sqrt(2)-1)]
Окончательный ответ - объединение ответов 1) и 2)
О т в е т. (- ∞; log_(2)(sqrt(2)-1)] U [1/2; + ∞ )
Все решения
