[m]\frac{-x^3(x^2-25)+1}{x(x^2-25)}=-x^3+\frac{1}{x(x-5)(x+5)}[/m]
Раскладываем дробь
[m]\frac{1}{x(x-5)(x+5)}[/m]
на простейшие
[m]\frac{1}{x(x-5)(x+5)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-5}+\frac{D}{x+5}[/m]
Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители:
[m]1=А\cdot (x-5)(x+5)+B\cdot x\cdot (x+5)+D\cdot x\cdot (x-5)[/m]
При x=5
1=15B ⇒ B=[m]\frac{1}{5}[/m]
При x=-5
1=15D ⇒ D=[m]\frac{1}{5}[/m]
При x=0
1=-25A ⇒ A=-[m]\frac{1}{25}[/m]
[m]\frac{1}{x(x-5)(x+5)}=\frac{-\frac{1}{25}}{x}+\frac{\frac{1}{15}}{x-5}+\frac{\frac{1}{15}}{x+5}[/m]
[m]∫ \frac{–x^5+25x^3+1}{x^3–25x}dx= ∫ (-x^3+\frac{1}{x(x-5)(x+5)})dx=[/m]
[m] ∫ (-x^3+\frac{-\frac{1}{25}}{x}+\frac{\frac{1}{15}}{x-5}+\frac{\frac{1}{15}}{x+5})dx=[/m]
[m]=-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{25}ln|x|+\frac{1}{15}ln|x-5|+\frac{1}{15}ln|x+5|+C[/m]