Задача 44086 Три автоматические линии выпускают...

slava191

8 февраля 2020 г. в 21:42

Три автоматические линии выпускают одинаковую продукцию, но имеют разную производительность. Производительность всех трёх одновременно действующих линий в 1,5 раза выше производительности первой и второй линий, работающих одновременно. Сменное задание для первой линии вторая и третья линии, работая одновременно, могут выполнить на 4 ч 48 мин быстрее, чем его выполняет первая линия; это же задание вторая линия выполняет на 2 ч быстрее по сравнению с первой линией. Найти время выполнения первой линией своего сменного задания.

sova

8 февраля 2020 г. в 23:40

★

Пусть производительность первой линии Х ; второй У; третьей Z

Из условия "производительность всех трёх одновременно действующих линий в 1,5 раза выше производительности первой и второй линий, работающих одновременно" получаем уравнение:

[m]X+Y+Z=1,5(X+Y) ⇒ 0,5X+0,5Y=Z [/m]

[m]\frac{1}{X}[/m] час – время выполнения сменного задания первой линией

[m]\frac{1}{Y+Z}[/m] час – время выполнения этого же задания второй и третьей линиями

По условию "сменное задание для первой линии вторая и третья линии, работая одновременно, могут выполнить на 4 ч 48 мин быстрее, чем его выполняет первая линия.

Получаем второе уравнение:

[m]\frac{1}{X}-\frac{1}{Y+Z}[/m]=4 часа 48 мин

так как 4 часа 48 мин=4 целых (48/60)=4,8 час

[m]\frac{1}{X}-\frac{1}{Y+Z}=4,8[/m]

Из условия "это же задание вторая линия выполняет на 2 ч быстрее по сравнению с первой линией" получаем:

[m]\frac{1}{X}-\frac{1}{Y}=2[/m]


Получаем систему трех уравнений:
{[m]0,5X+0,5Y=Z[/m] ⇒ подставим вместо Z во второе уравнение:
{[m]\frac{1}{X}-\frac{1}{Y+Z}=4,8[/m]
{[m]\frac{1}{X}-\frac{1}{Y}=2[/m] выразим [m]\frac{1}{Y}[/m]

{[m]0,5X+0,5Y=Z[/m]
{[m]\frac{1}{Y}-\frac{1}{0,5X+1,5Y}=4,8[/m]
{[m]\frac{1}{Y}=\frac{1}{X}-2[/m] ⇒ [m]\frac{1}{Y}=\frac{1-2X}{X}[/m] ⇒ [m]Y=\frac{X}{1-2X}[/m] подставим во второе уравнение

[m]\frac{1}{X}-\frac{X}{1-2X}=4,8[/m]

[m]\frac{1+X}{X(1-2X)}=4,8[/m]

Пропорция. Перемножаем крайние и средние члены пропорции:

X ≠ 0; X ≠ 0,5


1+Х=4,8·(2Х–Х²)

4,8X²–8,6X+1=0

24X²–43X+5=0

D=43²–4·24·5=1849–480=1369=37²

X₁=(43–37)/48 или X₂=(43+37)/48

X₁=1/8 или X₂=5/3

1/X₁=8 часов

1/Х₂=3/5 не удовл условию " вторая линия выполняет на 2 ч быстрее по сравнению с первой линией"

(3/5)часа – 2 часа < 0

О т в е т. 8 часов