Задача 43800 Найдите все знaчeния параметра a, при...

watford

29 января 2020 г. в 13:23

Найдите все знaчeния параметра a, при каждом из которых уравнение a(x²+1+log₂x) + 2xlog₂x = (x²+1)log₂x + a(a+2x) имеет ровно 2 корня.

sova

29 января 2020 г. в 16:24

Уравнение приводится к виду:
(a+2x–x²–1)·log₂x=a·(a+2x–x²–1)

или

(a+2x–x²–1)·(log₂x–a)=0

Левая часть уравнения представляет собой произведение двух множителей.

Произведение равно нулю тогда и только тогда когда хотя бы один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла
.

Первый множитель равен 0, а второй не теряет смысла, получим систему:
{a+2x–x²–1=0
{x>0

Второй множитель равен 0, а первый имеет смысл при любом х, получим уравнение:
log₂x–a=0 ⇒ x=2^a – уравнение имеет корень всегда.

Значит осталось ответить на вопрос, при каких значениях параметра а система
{a+2x–x²–1=0
{x>0
имеет одно решение