Задача 52813 ...

tupiza

2 июля 2020 г. в 18:12

Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений

x²+y²=a
sin(πx+πy)=0

имеет ровно четыре решения.

sova

2 июля 2020 г. в 18:59

sin(πx+πy)=0 ⇒ πx+πy=πk, k ∈ Z ⇒ x+y=k, k ∈ Z


Решаем систему способом подстановки: y=k–x

x²+(k–x)²=a ⇒ 2x²–2kx+k²–a=0

D=(–2k)²–4·2·(k²–a)=4k²–8k²+8a=8a–4k²

D>0 квадратное уравнение имеет два корня:

2a–k²>0 ⇒ a>k²/2


k= ± 1 ⇒ a>1/2

{x+y=1
{x²+y²=a

или

{x+y=–1
{x²+y²=a

получим 4 решения



Графическая интерпретация:
Прямые x+y= ± k (k ≠ 0) не должны являться касательными к окружности x²+y²=a

т.е. a ≠ k²/2; k – целое; k ≠ 0