Задача 52118 (4 / ((1/3)^(x-1) - 9) - (1 / ((1/3)^x)...

during

3 июня 2020 г. в 19:18

(4 / ((1/3)^x–1 – 9) – (1 / ((1/3)^x) –1) –3^x–1 > 0

sova

3 июня 2020 г. в 21:54

Замена переменной:

[m](\frac{1}{3})^{x}=t[/m]

Показательная функция строго положительна, поэтому t > 0


[m](\frac{1}{3})^{x-1}=(\frac{1}{3})^{x}\cdot (\frac{1}{3})^{-1} =3(\frac{1}{3})^{x}=3t[/m]

[m]3^{x-1}=(\frac{1}{3})^{1-x}=\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3})^{-x}=\frac{1}{3t}[/m]

Неравенство принимает вид:

[m]\frac{4}{3t-9}-\frac{1}{t-1}-\frac{1}{3t} >0[/m]

Приводим к общему знаменателю:

[m]\frac{4t(t-1)-3t(t-3)-(t-1)(t-3)}{3t(t-3)(t-1)} >0[/m]

Упрощаем числитель:
[m]\frac{9t-3}{3t(t-3)(t-1)} >0[/m]

Решаем неравенство методом интервалов:

Нули числителя:

9t–3=0 ⇒ t=[m]\frac{1}{3}[/m]

Нули знаменателя:

3t(t–3)(t–1)=0 ⇒ t=0; t=1; t=3

Знаки функции:

_+__ (0) __–_ ([m]\frac{1}{3}[/m] ) __+__ (1) __–___ (3) __+__

t < 0 или [m]\frac{1}{3}[/m] < t < 1 или t > 3

C учетом t >0
[m]\frac{1}{3}[/m] < t < 1 или t > 3

Обратный переход
[m]\frac{1}{3}<(\frac{1}{3})^{x} < 1[/m] или [m](\frac{1}{3})^{x}>3[/m]

Показательная функция с основанием [m]\frac{1}{3}[/m] убывающая, поэтому
0 < x < 1 или x < –1

О т в е т. (– ∞ ;–1) U (0;1)