Задача 35794 ...

bolanebyla

13 апреля 2019 г. в 13:43

Найти интегралы от рациональных дробей:

9.1.22.
∫(от 1 до 3) (dx / (x³ + x)) .

sova

13 апреля 2019 г. в 23:30

★

Раскладываем знаменатель на множители:
x³+x=x·(x²+1)

Тогда дробь раскладывается на простейшие:

1/(x³+x)= (A/x)+(Mx+N)/(x²+1)

1=А·(x²+1)+(Mx+N)·x

1=(А+M)x²+Nx+A

A=1
N=0
A+M=0
M=–А
М=–1

∫ ³₁dx/(x³+x)= ∫ ³₁ ((1/x) – x/(x²+1))dx

=(ln|x| –(1/2)ln|x²+1|)|³₁= ln3–ln1–(1/2)ln10+(1/2)ln2=

= ln3+(1/2)ln(1/5)