x^3+x=x*(x^2+1)
Тогда дробь раскладывается на простейшие:
1/(x^3+x)= (A/x)+(Mx+N)/(x^2+1)
1=А*(x^2+1)+(Mx+N)*x
1=(А+M)x^2+Nx+A
A=1
N=0
A+M=0
M=-А
М=-1
∫ ^(3)_(1)dx/(x^3+x)= ∫ ^(3)_(1) ((1/x) - x/(x^2+1))dx
=(ln|x| -(1/2)ln|x^2+1|)|^(3)_(1)= ln3-ln1-(1/2)ln10+(1/2)ln2=
= [b]ln3+(1/2)ln(1/5)[/b]